.Tuy nhiên mik có thể chữa lại đề cho ae dễ đọc nha:

Cho a,b,c>0 và:

\(P=\frac{a^3}{a^2}+ab+b^2+\frac{b^3}{b^2}+bc+c^2+\frac{c^3}{c^2}+ac+a^2.\)

\(Q=\frac{b^3}{a^2}+ab+b^2+\frac{c^3}{b^2}+bc+c^2+\frac{a^3}{c^2}+ac+a^2.\)

Chứng minh rằng:P=Q.

Ta có:

$P=\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}$

$Q=\dfrac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{a^3}{c^2+ca+a^2}$

Xét $P-Q$:

$P-Q=\dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3-a^3}{c^2+ca+a^2}$

Vì $\dfrac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}=x-y$ nên $P-Q=(a-b)+(b-c)+(c-a)$$=0$

Suy ra: $P=Q$

\(a^2+b^2+c^2\le abc\Rightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\le1\)

\(VT=\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{a}{2\sqrt{a^2bc}}+\frac{b}{2\sqrt{b^2ac}}+\frac{c}{2\sqrt{c^2ab}}\)

\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)

\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc+ca}{abc}\right)\le\frac{1}{2}\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\right)\le\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)

Đề bài sai hoặc thiếu 1 điều kiện nào đó

Bạn xem lại

vì a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tg

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b>c\\a+c>b\\b+c>a\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}ac+bc>c^2\\ab+bc>b^2\\ab+ca>a^2\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac+ab+bc+ac>a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\)              (1)

có : \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(c-a\right)^2\ge0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2-2ab+b^2\ge0\\b^2-2bc+c^2\ge0\\c^2-2ac+a^2\ge0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ac\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow2ab+2bc+2ac\le2a^2+2b^2+2c^2\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\)                     (2)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\)

Câu a bạn chứng minh được rồi là xong nha !!!!!!!

Câu b) 

\(B=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ca}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(B=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{ab+bc+ca}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ca\right)}\)

Ta lần lượt áp dụng BĐT Cauchy 2 số và sử dụng câu a sẽ được: 

=>   \(B\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)^2\left(ab+bc+ca\right)}{9\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^2}}+\frac{8.3\left(ab+bc+ca\right)}{9\left(ab+bc+ca\right)}\)

=>   \(B\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)

DẤU "=" Xảy ra <=>    \(a=b=c\)

Vậy ta có ĐPCM !!!!!!!!

1)a + b + c = 0 
<=> (a + b + c)² = 0 
<=> a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0 
<=> a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca) ------------(1) 

CẦn chứng minh: 

2(a^4 + b^4 + c^4) = (a² + b² + c²)² 

<=> 2(a^4 + b^4 + c^4) = a^4 + b^4 + c^4 + 2(a²b² + b²c² + c²a²) 

<=> a^4 + b^4 + c^4 = 2(a²b² + b²c² + c²a²) 

<=> (a² + b² + c²)² = 4(a²b² + b²c² + c²a²) ---(cộng 2 vế cho 2(a²b² + b²c² + c²a²) ) 

<=> [-2(ab + bc + ca)]² = 4(a²b² + b²c² + c²a²) ----(do (1)) 

<=> 4.(a²b² + b²c² + c²a²) + 8.(ab²c + bc²a + a²bc) = 4(a²b² + b²c² + c²a²) 

<=> 8.(ab²c + bc²a + a²bc) = 0 

<=> 8abc.(a + b + c) = 0 

<=> 0 = 0 (đúng), Vì a + b + c = 0 

=> Đpcm

2Quy đồng hết lên là ra thui :) . Đặt thế này cho dễ : x = a/b , y = b/c , z = c/a => xyz = 1 

BĐT cần Cm <=> x² + y² + z² ≥ 1/x + 1/y + 1/z 

<=> x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx ( BĐT quen thuộc đây mà ) 

<=> 2(x² + y² + z² ) - 2(xy + yz + zx) ≥ 0 

<=> (x - y)² + (y - z)² + (z - x)² ≥ 0 ( Luon dung ) => DPCM 

Dấu = xảy ra <=> x = y = z <=> a = b = c 

Vậy a²/b² + b²/c² + c²/a² ≥ c/b + b/a + a/c . Dấu = xảy ra <=> x = y = z <=> a = b = c 

- - - - - - - - - - - - -- - - - - -