Bạn có thể phân tích từng vế trong đẳng thức thì sẽ ra vế còn lại hoặc có thể phân tích cả hai vế.

Bài 1:

Ta có: \(A=\left(2a-3b\right)^2+2\left(2a-3b\right)\left(3a-2b\right)+\left(2b-3a\right)^2\)

\(=\left(2a-3b\right)^2-2\cdot\left(2a-3b\right)\cdot\left(2b-3a\right)+\left(2b-3a\right)^2\)

\(=\left(2a-3b-2b+3a\right)^2\)

\(=\left(5a-5b\right)^2\)

\(=\left[5\cdot\left(a-b\right)\right]^2=25\left(a-b\right)^2\)

Thay a-b=0 vào biểu thức \(A=25\left(a-b\right)^2\), ta được:

\(A=25\cdot0^2=0\)

Vậy: Khi a-b=0 thì A=0

Bài 3:

a) Ta có: \(A=x^2+8x\)

\(=x^2+8x+16-16\)

\(=\left(x+4\right)^2-16\)

Ta có: \(\left(x+4\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left(x+4\right)^2-16\ge-16\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x+4=0

hay x=-4

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=x^2+8x\) là -16 khi x=-4

\(3y^2\left(a-3x\right)-a\left(a-3x\right)=\left(3y^2-a\right)\left(a-3x\right)\)

\(\left(x+y\right)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=\left(x^3-6x^2y+9xy^2\right)+\left(y^3-6xy^2+9x^2y\right)\)

\(=x\left(x^2-6xy+9y^2\right)+y\left(y^2-6xy+9x^2\right)=x\left(x-3y\right)^2+y\left(y-3x\right)^2\)

b/

\(\left(a+b\right)^3+\left(a-b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

\(=2a^3+6ab^2=2a\left(a^2+3b^2\right)\)

c/

\(\left(a+b\right)^3-\left(a-b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-\left(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\right)\)

\(=6a^2b+2b^3=2b\left(b^2+3a^2\right)\)

d/

\(a^3+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-\left(3a^2b+3ab^2\right)\)

\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)

e/

\(a^3-b^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3+3a^2b-3ab^2\)

\(=\left(a-b\right)^3+3ab\left(a-b\right)\)

a)  a² + b² + 2ab + 2a + 2b + 1

= (a² + b² + 2ab) + (2a + 2b) + 1

= (a + b)² + 2(a + b) + 1

= (a + b + 1)²

b)  a³ - 3a + 3b - b³

= (a³ - b³) - (3a - 3b)

= (a - b)(a² - ab + b²) - 3(a - b)

= (a - b)(a² - ab + b² - 3)

c)  x² + 2x - 15

= (x² + 2x + 1) - 16

= (x + 1)² - 16

= (x + 1 - 5)(x + 1 + 5)

= (x - 4)(x + 6)

d)  a⁴ + 6a²b + 9b² - 1

= (a² + 3b)² - 1

= (a² + 3b - 1)(a² + 3b + 1)

Lời giải:
Đặt \((3a+b-c,3b+c-a,3c+a-b)=(x,y,z)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3a+3b+3c=x+y+z\\ a+2b=\frac{x+y}{2}\\ b+2c=\frac{y+z}{2}\\ c+2a=\frac{x+z}{2}\end{matrix}\right.\)

Bài toán trở thành:

Với các số thực $x,y,z$ thỏa mãn \((x+y+z)^3=24+x^3+y^3+z^3\)

CMR: \((x+y)(y+z)(x+z)=8\)

------------------------------------------------

Áp dụng HĐT \(m^3+n^3=(m+n)^3-3mn(m+n)\) ta có:

\((x+y+z)^3=24+x^3+y^3+z^3\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)^3=24+(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)^3=24+(x+y+z)^3-3xy(x+y)-3z(x+y)(x+y+z)\)

\(\Leftrightarrow 3(x+y)[z(x+y+z)+xy]=24\)

\(\Leftrightarrow (x+y)[z(y+z)+x(z+y)]=8\)

\(\Leftrightarrow (x+y)(z+x)(z+y)=8\) (đpcm)