\(2^{2^{6n+2}}+3⋮19\)

\(\Leftrightarrow4^{2\left(3n+1\right)}+3⋮19\)

\(\Leftrightarrow16^{3n+1}+3⋮19\)

\(\Leftrightarrow\left(16+3\right)\left(16^{3n}-...+1\right)⋮19\) ( luôn đúng )

\(\Rightarrowđpcm\)

a) Với n=1 thì \(7^{^{ }3}+8^3\) chia hết cho \(7^2-56+8^2nên\) chia hết cho 19

Giả sử \(7^{k+2}+8^{k+2}\) chia hết cho 19 (k >_ 1)

Xét \(7^{k=3}+8^{2k+3}=7.7^{k+2}+64.8^{2k+1}=7.\left(7^{k+2}+8^{2k+1}\right)+57.8^{2k+1}\) chia hết cho 19

Muộn rồi b chiều tớ hứa là sẽ làm 4h30' chiều

\(2^{2^{6n+2}}+13⋮29\)

\(\Leftrightarrow4^{6n+2}+13⋮29\)

\(\Leftrightarrow16^{3n+1}+13⋮29\)

\(\Leftrightarrow\left(16+13\right)\left(3^n....+1\right)⋮29\left(dpcm\right)\)

Sửa đề câu a là chia hết 59.

a, \(5^{n+3}-3.5^{n+1}+2^{6n+3}\)

\(=125.5^n-3.5.5^n+8.64^n\)

\(=110.5^n+8.64^n=\left(118-18\right).5^n+8.64^n\)

\(=118.5^n+8.\left(64^n-5^n\right)=2.59.5^n+8.59.P\)

\(=59\left(2.5^n+8.P\right)⋮59\)

b, \(10^n+18n-55\)

\(=\left(10^n-1\right)+18n-54\)

\(=99...999+18n-54\) (n chữ số 9)

\(=9\left(11...111+2n\right)-54\) (n chữ số 1)

\(=9\left(11...111-n+3n\right)-54\) (n chữ số 1)

Xét số 11..111 ( n chữ số 1) có tổng các chữ số là:

\(1+1+...+1+1=n\) (vì có n chữ sô 1)

\(\Rightarrow\)11...111 ( nu chữ số 1 ) và n có cùng số dư khi chia cho 3

\(\Rightarrow11...111-n⋮3\Rightarrow11...111-n+3n⋮3\)

\(\Rightarrow9\left(11...1111-n+3n\right)⋮27\) và \(54⋮27\)

\(\Rightarrow9\left(11...111-n+3n\right)-54⋮27\)

Vậy \(10^n+18n-55⋮27\) (đpcm)

a, Ta có : \(4n^2.\left(n+2\right)+4n.\left(n+2\right)\)

\(=\left(n+2\right).\left(4n^2+4n\right)\)

\(=4n.\left(n+2\right).\left(n+1\right)\)

\(=4n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)⋮4\)

\(n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)\) là tích của ba số liên tiếp

\(\Rightarrow n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)⋮2\) và \(3\)

mà \(n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)⋮\left(2.3\right)\)

Vậy \(4n^2.\left(n+2\right)+4n.\left(n+2\right)⋮24\left(đpcm\right)\)

b,

+ Thực hiện phép tính :

6n^2 + n - 1 - 6n^2 + 4n 3n + 2 2n - 1 -3n - 1 - -3n - 2 1

Ta có : \(\dfrac{6n^2+n-1}{3n+2}=2n-1+\dfrac{1}{3n+2}\)

Để \(\left(6n+n-1\right)⋮\left(3n+2\right)\) thì \(\dfrac{1}{3n+2}\in Z\)

\(\Rightarrow3n+2\inƯ\left(1\right)\)

\(\Rightarrow3n+2\in\left\{\pm1\right\}\)

Ta có bảng sau :

Vậy n = -1