Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}\right)^2-\left(\frac{2}{ab}-\frac{2}{a\left(a+b\right)}-\frac{2}{b\left(a+b\right)}\right)}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}\right)^2-\frac{2\left(a+b\right)-2b-2a}{ab\left(a+b\right)}}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}\right)^2}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}\right|=VP\)
Áp dụng tính M: \(M=\sqrt{1+999^2+\frac{999^2}{1000^2}}+\frac{999}{1000}\)
\(M=999.\sqrt{\frac{1}{999^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{\left(999+1\right)^2}}+\frac{999}{1000}\)
\(M=999.\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}\right)+\frac{999}{1000}\)
\(M=999+1-\frac{999}{1000}+\frac{999}{1000}=1000\)
Vậy M=1000.
đầu bài phải là: cmr: \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}\right|\)chì bn???
Giải:
\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}-2.\left(\frac{b+a-a-b}{ab.\left(a+b\right)}\right)}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}-2.\left(\frac{1}{a.\left(a+b\right)}+\frac{1}{b.\left(a+b\right)}-\frac{1}{ab}\right)}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}\right)^2}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}\right|\)
=> đpcm
AD: \(\sqrt{1+999^2+\frac{999^2}{1000^2}}+\frac{999}{1000}=\left|1+999-\frac{999}{1000}\right|+\frac{999}{1000}\)
\(=1000-\frac{999}{1000}+\frac{999}{1000}=1000\)
bạn tìm trong nâng cao phát triển toán 9 tập 1 ấy nó có ở đấy
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
đề bài
cm
1/a+2 + 1/b+2 +1/c+2 <=1
bn p viết đề chứ???
##thiêndi###
- Gỉa sử \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}\right|\)
=> \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}=\left(\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}\right|\right)^2\)
=> \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{ab}-\frac{2}{b\left(a+b\right)}-\frac{2}{a\left(a+b\right)}\)
=> \(\frac{2}{ab}-\frac{2}{b\left(a+b\right)}-\frac{2}{a\left(a+b\right)}=0\)
=> \(\frac{a+b}{ab\left(a+b\right)}-\frac{a}{ab\left(a+b\right)}-\frac{b}{ab\left(a+b\right)}=0\)
=> \(\frac{a+b-a-b}{ab\left(a+b\right)}=\frac{0}{ab\left(a+b\right)}=0\) (Luôn đúng )
Vậy ....
- Áp dụng : \(M=\sqrt{1+999^2+\frac{999^2}{1000^2}}+\frac{999}{1000}\)
=> \(M=\sqrt{1+999^2+\frac{999^2}{\left(1+999\right)^2}}+\frac{999}{1000}\) ( với \(a=1,b=999\) )
=> \(M=1+999-\frac{999}{1000}+\frac{999}{1000}=1000\)