Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1\cdot2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2\cdot3}\)
\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3\cdot4}\)
...
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99\cdot100}\)
\(\Rightarrow P< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{99\cdot100}\)
\(\Rightarrow P< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow P< 1-\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow P< \frac{99}{100}< 1\)
\(P=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(P=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+......+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\)
\(P=1-\frac{1}{100}< 1\)
Vậy : \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+....+\frac{1}{100^2}< 1\left(đpcm\right)\)
\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(=1-\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(=1.\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{100}\right)\)
\(=1.\frac{99}{100}\)
\(=\frac{99}{100}\)
Điều kiện:
$x\ne0,\quad x\ne-2$
Ta có:
$\dfrac1x+\dfrac1{x+2}+\dfrac{x-2}{x^2+2x}$
$=\dfrac1x+\dfrac1{x+2}+\dfrac{x-2}{x(x+2)}$
$=\dfrac{x+2+x+x-2}{x(x+2)}$
$=\dfrac{3x}{x(x+2)}$
$=\dfrac3{x+2}$
Để biểu thức nhận giá trị nguyên thì:
$\dfrac3{x+2}\in\mathbb Z$
$\Rightarrow x+2\in{-3,-1,1,3}$
$\Rightarrow x\in{-5,-3,-1,1}$
Vậy $x\in{-5,-3,-1,1}$.
Nếu đúng như bạn ghi:
$\dfrac1{x^2-4}=\dfrac9{x-2}+\dfrac b{x+2}$
Điều kiện:
$x\ne\pm2$
Quy đồng:
$1=9(x+2)+b(x-2)$
$1=(9+b)x+18-2b$
Suy ra:
$\begin{cases}9+b=0\18-2b=1\end{cases}$
Từ phương trình đầu:
$b=-9$
Nhưng phương trình sau:
$18-2(-9)=36\ne1$
Vậy không tồn tại $b$, nên câu này cũng có khả năng bạn ghi nhầm số $9$.
Nếu đề đúng là:
$\dfrac1{x^2-4}=\dfrac a{x-2}+\dfrac b{x+2}$
thì:
$1=a(x+2)+b(x-2)$
$1=(a+b)x+2a-2b$
$\Rightarrow\begin{cases}a+b=0\2a-2b=1\end{cases}$
$\Rightarrow a=\dfrac14,\quad b=-\dfrac14$.
Bài 3bTa có:
$\dfrac1{x^3+1}=\dfrac a{x+1}+\dfrac{bx+c}{x^2-x+1}$
Điều kiện:
$x\ne-1$
Vì:
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$
Quy đồng:
$1=a(x^2-x+1)+(bx+c)(x+1)$
Khai triển:
$1=ax^2-ax+a+bx^2+bx+cx+c$
$1=(a+b)x^2+(-a+b+c)x+(a+c)$
So sánh hệ số:
$\begin{cases}a+b=0\-a+b+c=0\a+c=1\end{cases}$
Từ $a+b=0$:
$b=-a$
Thay vào $-a+b+c=0$:
$-a-a+c=0$
$c=2a$
Thay vào $a+c=1$:
$a+2a=1$
$3a=1$
$a=\dfrac13$
$b=-\dfrac13$
$c=\dfrac23$
Vậy $a=\dfrac13,\ b=-\dfrac13,\ c=\dfrac23$.
Bài 2:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{x-2}{x\left(x+2\right)}\)
\(=\dfrac{x+x+2+x-2}{x\left(x+2\right)}=\dfrac{3x}{x\left(x+2\right)}=\dfrac{3}{x+2}\)
Để 3/x+2 là số nguyên thì \(x+2\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)
hay \(x\in\left\{-1;-3;1;-5\right\}\)
\(\left(x+2\right)^2-x^2+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2-\left(x^2-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2-\left(x+2\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(\left(x+2\right)-\left(x-2\right)\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x+2-x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4\left(x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+2=0\)
\(\Leftrightarrow x=-2\)
\(\frac{1}{^{^{2^2}}}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+........+\frac{1}{100^2}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+.........+\frac{1}{99.100}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+.....+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1-\frac{99}{100}<1\)