Câu hỏi của Đạt Trần Tiến

Question

CMR n$\in$N, n>3

a,$\frac{1}{2\sqrt{1} }+\frac{1}{3\sqrt{2} } +\frac{1}{4\sqrt{3} }+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n} }<2 $

Đức Hiếu · Accepted Answer

a, Chắc xét hàm số tổng quát!

Xét hàm số tổng quát:

$\dfrac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\dfrac{\sqrt{k}}{k\left(k+1\right)}=\sqrt{k}\left(\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}\right)$

$=\sqrt{k}\left[\sqrt{\dfrac{1}{k}}^2-\sqrt{\dfrac{1}{k+1}}^2\right]$

$=\sqrt{k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)$

$=\left(1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)$

Vì $\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}< 1\Rightarrow1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}< 2$

Do đó $\left(1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)< 2.\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)$

$\Rightarrow\dfrac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)$ (1)

Áp dụng điểu (1) ta được:

$\dfrac{1}{2}< 2\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$

$\dfrac{1}{3\sqrt{2}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$

...................................

$\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$

$\Rightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+....+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+....+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$

$\Rightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$

Với mọi giá trị của $n>0$ ta luôn có: $\sqrt{n+1}>0$

Do đó $\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2$ (đpcm)

Câu trả lời:

a, Chắc xét hàm số tổng quát!

Xét hàm số tổng quát:

$\dfrac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\dfrac{\sqrt{k}}{k\left(k+1\right)}=\sqrt{k}\left(\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}\right)$

$=\sqrt{k}\left[\sqrt{\dfrac{1}{k}}^2-\sqrt{\dfrac{1}{k+1}}^2\right]$

$=\sqrt{k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)$

$=\left(1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)$

Vì $\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}< 1\Rightarrow1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}< 2$

Do đó $\left(1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)< 2.\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)$

$\Rightarrow\dfrac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)$ (1)

Áp dụng điểu (1) ta được:

$\dfrac{1}{2}< 2\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$

$\dfrac{1}{3\sqrt{2}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$

...................................

$\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$

$\Rightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+....+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+....+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$

$\Rightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$

Với mọi giá trị của $n>0$ ta luôn có: $\sqrt{n+1}>0$

Do đó $\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2$ (đpcm)

Linh_Windy · Answer

Đang nghi ngờ you với nhailaier là crush -_-

Câu trả lời:

Đang nghi ngờ you với nhailaier là crush -_-

Nguyễn Hải Dương · Answer

nhìn nó dài dài chắc là nó khó :))

Câu trả lời:

nhìn nó dài dài chắc là nó khó :))

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP