Ta có: x + y + z = 0 <=> y + z = -x

(y+z)⁵ = (-x)⁵

y⁵ + z⁵ + 5y⁴z + 10y³z² + 10y²z³ + 5yz⁴ = -x⁵

y⁵ + z⁵ + 5y⁴z + 10y³z² + 10y²z³ + 5yz⁴ + x⁵ = 0

x⁵ + y⁵ + z⁵ +5xyz[ y³ + 2y²z + 2yz² + z³ ] = 0

x⁵ + y⁵ + z⁵ + 5xyz[(y+z)(y² -yz -z²)+ 2yz(x+z)] = 0

x⁵ + y⁵ + z⁵ +5xyz[(y+z)(y² +yz + z²)] = 0

2.(x⁵ + y⁵ + z⁵) + 5xyz(y+z)(y²+yz+z²) - (x⁵ + y⁵ + z⁵) = 0

2(x⁵ + y⁵ + z⁵) - 5xyz[(y²+2yz+z²)+y²+z²] = 0

2(x⁵ + y⁵ + z⁵) = 5xyz[(y+z)² + y² + z²]

2(x⁵ + y⁵ + z⁵) = 5xyz[(-x)² + y² + z²]

2(x⁵ + y⁵ + z⁵) = 5xyz(x² + y² + z²).

\(y+z=-x\)

\(\left(y+z\right)^5=-x^5\)

\(y^5+5y^4z+10y^3z^2+10y^2z^3+5yz^4+z^5+x^5=0\)

\(x^5+y^5+z^5+5yz\left(y^3+2y^2z+2yz^2+z^3\right)=0\)

\(x^5+y^5+z^5+5yz\left[\left(y+z\right)\left(y^2-yz+z^2\right)+2yz\left(y+z\right)\right]=0\)

\(x^5+y^5+z^5+5yz\left(y+z\right)\left(y^2+yz+z^2\right)=0\)

\(2\left(x^5+y^5+z^5\right)-5xyz\left(\left(y^2+2yz+z^2\right)+y^2+z^2\right)=0\)

\(2\left(x^5+y^5+z^5\right)=5xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

a, Ta có: \(2\left(x^8+y^8\right)\ge\left(x^3+y^3\right)\left(x^5+y^5\right)\)

\(\Leftrightarrow x^8+y^8\ge x^5y^3+x^3y^5\)

Ta CM: \(\Leftrightarrow x^8+y^8\ge x^5y^3+x^3y^5\)

Áp dụng bđt Cô si:

\(x^8+x^8+x^8+x^8+x^8+y^8+y^8+y^8\ge8x^5y^3\) (*)

Tương tự, \(5y^3+3x^3\ge8x^3y^5\) (**)

Từ (*), (**) \(\Rightarrowđpcm\)

Câu 1 chuyên phan bội châu

câu c hà nội

câu g khoa học tự nhiên

câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ

câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)

Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !

Câu c quen thuộc, chém trước:

Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)

Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)

Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)

\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)

Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)

\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)

Done.

\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (2) cộng (3) ta được

\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)

Lấy (1) - (4) ta được

\(2x\left(x+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

Đến đây thì dễ rồi nhé