viet dc k bạn

\(\Delta'=b'^2-ac=-6m+7=>\)\(m\ge\frac{7}{6}\)

Theo Vi-ét : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-2\right)\\x_1.x_2=m^2+2m-3\end{cases}}\)Mà \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}=>\)\(\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}\)

=> \(x_1.x_2=5\)<=> \(m^2+2m-3=5\)<=> \(m^2+2m-8=0\)

Giải pt trên ta đc : \(\orbr{\begin{cases}m=2\\m=-4\end{cases}}\)Mà \(m\ge\frac{7}{6}\)=> \(m=2\)

a) ax^2 + bx + c = 0 

Để phương trình thỏa mãn điều kiện có 2 nghiệm dương phân biệt. 

∆ > 0 
=> b^2 - 4ac > 0 

x1 + x2 = -b/a > 0 
=> b và a trái dấu 

x1.x2 = c/a > 0 
=> c và a cùng dấu 

Từ đó ta xét phương trình cx^2 + bx^2 + a = 0 

∆ = b^2 - 4ac >0 

x3 + x4 = -b/c, vì a và c cùng dấu mà b và a trái dấu nên b và c trái dấu , vì vậy -b/c >0 

x3.x4 = a/c, vì a và c cùng dấu nên a/c > 0 

=> phương trình cx^2 + cx + a có 2 nghiệm dương phân biệt x3 và x4 

Vậy nếu phương trình ax^2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt thì phương trình cx^2 + bx + a = 0 cũng có 2 nghiệm dương phân biệt. 

b) Ta có, vì x1, x2, x3, x4 không âm, dùng cô si. 

x1 + x2 ≥ 2√( x1.x2 ) 
x3 + x4 ≥ 2√( x3x4 ) 

=> x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 2[ √( x1.x2 ) + √( x3x4 ) ] (#) 

Tiếp tục côsi cho 2 số không âm ta có 

√( x1.x2 ) + √( x3x4 ) ≥ 2√[√( x1.x2 )( x3.x4 ) ] (##) 

Theo a ta có 

x1.x2 = c/a 
x3.x4 = a/c 

=> ( x1.x2 )( x3.x4 ) = 1 

=> 2√[√( x1.x2 )( x3.x4 ) ] = 2 

Từ (#) và (##) ta có 

x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 4

Đọc nhầm đề bạn ơi =))

nhận thấy x=0 không là nghiệm của phương trình ,chia cả 2 vế của phương trình cho x² ta được:

\(x^2+ax+b+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2}=0\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+a\left(x+\frac{1}{x}\right)+b=0\)

đặt \(m=x+\frac{1}{x}\),phương trình trở thành \(m^2-2+am+b=0\Leftrightarrow m^2-2=-am-b\Leftrightarrow\left(m^2-2\right)^2=\left(am+b\right)^2\)

Áp dụng bất đẳng thức bunyakovsky :\(\left(m^2-2\right)^2=\left(am+b\right)^2\le\left(m^2+1\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(m^2-2\right)^2}{m^2+1}=\frac{m^4-4m^2+4}{m^2+1}=m^2-5+\frac{9}{m^2+1}\)

\(=m^2+1+\frac{25}{m^2+1}-\frac{16}{m^2+1}-6\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(m^2+1+\frac{25}{m^2+1}\ge10\)

\(a^2+b^2\ge4-\frac{16}{m^2+1}\)

lại có \(m^2=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\ge4\)(AM-GM)

nên \(a^2+b^2\ge4-\frac{16}{5}=\frac{4}{5}\) 

đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=-\frac{4}{5}\\b=-\frac{2}{5}\end{cases}}\)