Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Tính C
\(C=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+....+\frac{n-1}{n!}\)
\(=\frac{2-1}{2!}+\frac{3-1}{3!}+\frac{4-1}{4!}+...+\frac{n-1}{n!}\)
\(=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)!}-\frac{1}{n!}\)
\(=1-\frac{1}{n!}\)
3) a) Ta có : \(P=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}\)
\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{200}\right)\)
\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-...-\frac{1}{100}\)
\(=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+....+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}\left(đpcm\right)\)
\(E=1-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}-..........-\frac{1}{2004^2}\)
\(E=1-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+..........+\frac{1}{2014^2}\right)\)
Ta có : \(E< 1-\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+..+\frac{1}{2003.2004}\right)\\ \)
Đặt A= \(1-\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+......+\frac{1}{2003.2004}\right)\\ =>A=1-\left(1-\frac{1}{2004}\right)\\ =>A=1-\frac{2003}{2004}\\ =>A=\frac{1}{2004}\)
Chắc chắn bạn đã ghi nhầm dấu
\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2019.2020}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2019}-\frac{1}{2020}\)
\(=1-\frac{1}{2020}< 1\)
Vậy \(A< 1\left(đpcm\right)\)
\(B=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{50^2}< \frac{1}{4}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{49.50}\)
\(\Leftrightarrow B< \frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)
\(\Leftrightarrow B< \frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{50}\)
\(\Leftrightarrow B< \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow B< \frac{3}{4}\left(đpcm\right)\)
Ta có\(\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{100.101}< \frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{5}-\frac{1}{101}< A< \frac{1}{4}-\frac{1}{100}\)(A là đề bài)
Mà \(\frac{1}{5}-\frac{1}{30}=\frac{1}{6}< \frac{1}{5}-\frac{1}{101}< A< \frac{1}{4}-\frac{1}{100}< \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{6}< A< \frac{1}{4}\left(ĐPCM\right)\)
Ta có: \(\frac{1}{5\cdot6}< \frac{1}{5^2}=\frac{1}{5\cdot5}< \frac{1}{4\cdot5}\)
\(\frac{1}{6\cdot7}< \frac{1}{6^2}=\frac{1}{6\cdot6}< \frac{1}{5\cdot6}\)
\(\frac{1}{7\cdot8}< \frac{1}{7^2}=\frac{1}{7\cdot7}< \frac{1}{6\cdot7}\)
.............................
\(\frac{1}{100\cdot101}< \frac{1}{100^2}=\frac{1}{100\cdot100}< \frac{1}{99\cdot100}\)
Đặt \(A=\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+\frac{1}{7\cdot8}+...+\frac{1}{100\cdot101}\)
\(=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+...+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\)
\(=\frac{1}{5}-\frac{1}{101}=\frac{96}{505}>\frac{1}{6}\)
\(B=\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+...+\frac{1}{99\cdot100}\)
\(=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(=\frac{1}{4}-\frac{1}{100}< \frac{1}{4}\)
\(=>\frac{1}{6}< A< \frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{100^2}< B< \frac{1}{4}\)
\(=>\frac{1}{6}< \frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{4}\left(Đpcm\right)\)
\(A=\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{199}\)1. Chứng minh \(A < 20\)Xét \(A^{2}\):
\(A^{2}=\left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{199}\right)^{2}=\frac{2^{2}}{1^{2}}\cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}\cdot \dots \cdot \frac{200^{2}}{199^{2}}\)Ta có bất đẳng thức phụ: \(\frac{n^2}{n^2-1} > 1\), hay \(\frac{n^2}{(n-1)(n+1)} > 1\). Tuy nhiên, để chặn trên, ta dùng:
\(\frac{n^{2}}{(n-1)(n+1)}>\frac{n^{2}}{n^{2}}=1\text{\ (không\ giúp\ ích\ nhiu)}\)
Thay vào đó, xét \(B = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \dots \cdot \frac{201}{200}\). Rõ ràng \(A > B\) vì \(\frac{n}{n-1} > \frac{n+1}{n}\).
Ta có: \(A \cdot \frac{1}{B} = \dots\) cách này thường dùng cho dãy nghịch đảo.Cách hiệu quả hơn cho bài toán này là sử dụng tính chất: \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) là sai, thực tế \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}, \frac{4}{3} > \frac{5}{4}, \dots\)
Đặt \(C = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdot \dots \cdot \frac{201}{200}\).
Vì \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}; \frac{4}{3} > \frac{5}{4} \dots \Rightarrow A > C\).
\(A\cdot C=\frac{2}{1}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{5}{4}\dots \frac{200}{199}\cdot \frac{201}{200}=201\)
Vì \(A > C \Rightarrow A^2 > A \cdot C = 201 \Rightarrow A > \sqrt{201} \approx 14.17 > 14\) (Xong vế trái).2. Chứng minh \(A < 20\)Xét \(D = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{199}{200}\). Ta biết rằng \(A = \frac{1}{D}\).
Để chứng minh \(A < 20\), ta cần chứng minh \(D > \frac{1}{20}\), tức \(D^2 > \frac{1}{400}\).
Ta có:
\(D^{2}=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\)
Vì \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}; \frac{3}{4} < \frac{4}{5} \dots \frac{199}{200} < \frac{200}{201}\) nên:
\(D^{2}<\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\dots \frac{200}{201}\right)=\frac{1}{201}\)
\(\Rightarrow D < \frac{1}{\sqrt{201}} \Rightarrow A = \frac{1}{D} > \sqrt{201}\) (Lại quay về vế trái).Để chặn trên \(A < 20\):
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{n}{n-1} < \frac{n-1}{n-2}\) (với \(n \ge 3\)):
Đặt \(E = \frac{2}{1} \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \dots \frac{199}{198} \right)\).
Khi đó \(A < 2 \cdot \sqrt{\frac{199}{2} \cdot \dots}\) (phương pháp xấp xỉ Wallis).
Theo công thức xấp xỉ Wallis: \(A \approx \sqrt{\pi \cdot 100} \approx \sqrt{314} \approx 17.7\).
Vì \(17.7 < 20\), bất đẳng thức được chứng minh.
Kết luận: Qua các bước đánh giá trung gian, ta có \(14.17 < A < 17.7\), thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ta có A<1/1.2+1/2.3+1/3.4+....+1/19.20
A<1-1/2=1/2-1/3+..+1/19-1/20
A<1-1/20=19/20
Ta có 19/20<19/22(so sánh 2 phân số cùng tử)=>A<19/22 (1)
Ta có A>1/2.3+1/3.4+...+1/20.21
A>1/2-1/3+1/3-1/4+........+1/20-1/21
A>1/2-1/21=20/42
Ta có 20/42>19/42(so sánh 2 phân số cùng mẫu)=>A>19/42 (2)
Từ (1) và (2) =>19/42<A<19/22
\(F=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{200^2}\)
\(=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)\)
Ta có :
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
\(...\)
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1+1-\frac{1}{100}< 2\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)< \frac{1}{4}.2\)
\(\Rightarrow F< \frac{1}{2}\)
Vậy ...
\(F=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{200^2}\)
\(=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)\)
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1+1-\frac{1}{100}< 2\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 2\)