\(A=\frac{9}{10!}+\frac{9}{11!}+\frac{9}{12!}+...+\frac{9}{1000!}\)

=\(\frac{10-1}{10!}+\frac{11-1}{11!}+\frac{12-1}{12!}+...+\frac{1000-1}{1000!}\)

=\(\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}+\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}+\frac{1}{11!}-\frac{1}{12!}+...+\frac{1}{999!}-\frac{1}{1000!}\)

\(=\frac{1}{9!}-\frac{1}{1000!}<\frac{1}{9!}\)

SUY RA: A<\(\frac{1}{9!}\)

3/10>3/15               3/11>3/15

3/12>3/15                 3/13>3/15

            3/14>3/15                                       

vẬY 3/10 + 3/11 + 3/12+ 3/13+3/14 > 3/15+3/15+3/15+3/15+3/15=15/15=1

           => 3/10+3/11+3/12+3/13+3/14>1       (1)

3/10<3/9                3/11<3/9           3/12<3/9            3/13<3/9            3/14<3/9

VẬY 3/10+3/11+3/12+3/13+3/14<3/9+3/9+3/9+3/9+3/9=15/9    MÀ 15/9<18/9=2

3/10+3/11+3/12+3/13+3/14<2          (2)

   TỪ 1 VÀ 2 =>   1<S<2

Câu 1 dài quá nên mình làm câu 2 trước/.

Ta có:

\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a\left(a+1\right)}=\frac{a}{a\left(a+1\right)}+\frac{1}{a\left(a+1\right)}=\frac{a+1}{a\left(a+1\right)}=\frac{1}{a}\)

Nếu bạn tích mình 2 cái thì mình là câu a cho

bài 1:

ta có \(\frac{1}{1!}=1\)

\(\frac{1}{2!}=\frac{1}{1\cdot2}\)

\(\frac{1}{3!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3}=\frac{1}{2\cdot3}\)

bắt đầu từ đây ta giảm mẫu số:

\(\frac{1}{4!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}<\frac{1}{3\cdot4}\)

... tới \(\frac{1}{2012!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot2011\cdot2012}<\frac{1}{2011\cdot2012}\)

thay vào biểu thức S

=> \(S<1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{2011\cdot2012}\)

áp dụng công thức: \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

=> \(S=1+1-\frac12+\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)

\(S<2-\frac{1}{2012}\)

mà \(\frac{1}{2012}>0\)

=> \(S<2\)

bài 2:

Ta có công thức: \(\frac{1}{\left(n+1\right)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{\left(n+1\right)!}\)

=> \(\frac{9}{10!}=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}\)

\(\frac{10}{11!}=\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}\)

\(\frac{11}{12!}=\frac{1}{11!}-\frac{1}{12!}\)

... tới: \(\frac{99}{100!}=\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}\)

thay vào biểu thức ta gọi biểu thức là A

\(A=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}+\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}+\cdots+\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}\)

A=\(\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}\)

mà \(\frac{1}{100!}>0\Rightarrow\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}<\frac{1}{9!}\)

vậy \(A<\frac{1}{9!}\)

lấy vở bồi dưỡng toán ra xem ^^ ko có thì thôi^^

câu 1 ; câu 2 tính ra rồi so sánh

a) \(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{100!}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{100}=\frac{100}{100}-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}<1\)

\(\text{Vậy }\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{100!}<1\)

giúp mình với