\(a^2+b^2+c^2\text{≥}ab+bc+ca\)

⇒\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\text{≥}2\left(ab+bc+ca\right)\)

⇒\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\text{≥}0\)

⇒\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\text{≥}0\) luôn đúng

\(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(luon-dung\forall a,b\right)\)

dau"=" xay ra \(\Leftrightarrow a=b\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow b^2+c^2\ge2ac\)

\(\Rightarrow a^2+c^2\ge2ac\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

dau"=" xay ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

\(a^2+b^2\ge2ab\\ \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(luôn.đúng\right)\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b\)

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\a^2+c^2\ge2ac\end{matrix}\right.\)

Cộng vế theo vế của 3 BĐT, ta được:

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)

giả sử a²+b²+c² lớn hơn bằng ab+bc+ca=)a²+b²+c²-ab-bc-ca lớn hơn bằng 0

=)2.(a²+b²+c²-ab-bc-ca) lớn hơn bằng 0

=)2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca lớn hơn bằng 0

=)(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ca+a²) lớn hơn bằng 0

=)(a-b)²+(b-c)²+(c-a)² lớn hơn bằng 0 mà (a-b)²,(b-c)²,(c-a)² luôn lớn hơn bằng 0

=)điều giả sử đúng =)điều phải chứng minh

giả sử a2+b2+c2 lớn hơn bằng ab+bc+ca=)a2+b2+c2-ab-bc-ca lớn hơn bằng 0

=)2.(a2+b2+c2-ab-bc-ca) lớn hơn bằng 0

=)2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca lớn hơn bằng 0

=)(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2) lớn hơn bằng 0

=)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 lớn hơn bằng 0 mà (a-b)2,(b-c)2,(c-a)2 luôn lớn hơn bằng 0

=)điều giả sử đúng =)điều phải chứng minh

Ta có
a² > 0 (với mọi a) [1]
b² > 0 (với mọi b) [2]
từ [1] và [2] => a²+b²> 0

a²+b²>labl mà