Ta có:

11^{n + 2} + 12^{2n + 1}

= 11ⁿ . 11² + (12²)ⁿ . 12

= 11ⁿ . 121 + 144ⁿ . 12

= 11ⁿ . (121 + 12) + (144ⁿ - 11ⁿ) . 12

= 11ⁿ . 133 + (144ⁿ - 11ⁿ) . 12

Lại có: 144ⁿ \(\equiv\) 11ⁿ (mod 133)

\(\Rightarrow\) 144ⁿ - 11ⁿ \(⋮\) 133

\(\Rightarrow\) ​144ⁿ - 11ⁿ \(⋮\) 133

\(\Rightarrow\) (144ⁿ - 11ⁿ) . 12 \(⋮\) 133

\(\Rightarrow\) 11ⁿ . 133 + (144ⁿ - 11ⁿ) . 12 \(⋮\) 133

Ta có:
$11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹ + 12^2$
$= 11² x 11ⁿ + 12 x (12²)ⁿ + 12^2$
$= 121 x 11ⁿ + 12 x (12²)ⁿ + 144$
$= (133 - 12) x 11ⁿ + 12 x (12²)ⁿ + 144$
$= 133 x 11ⁿ - 12 x 11ⁿ + 12 x 144ⁿ + 144$
$= 133 x 11ⁿ + 12 x (144ⁿ - 11ⁿ) + 144$
Vì:
$133 x 11ⁿ ⋮ 133$
$12 x (144ⁿ - 11ⁿ) = 12 x (144 - 11) x P = 12 x 133 x P ⋮ 133$
$144$ chia cho $133$ dư $11$
Suy ra: $11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹ + 12²$ chia cho $133$ dư $11$

Ta có:
11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹ + 12²
= 11² x 11ⁿ + 12 x (12²)ⁿ + 12²
= 121 x 11ⁿ + 12 x (12²)ⁿ + 144
= (133 - 12) x 11ⁿ + 12 x (12²)ⁿ + 144
= 133 x 11ⁿ - 12 x 11ⁿ + 12 x 144ⁿ + 144
= 133 x 11ⁿ + 12 x (144ⁿ - 11ⁿ) + 144
Vì:
133 x 11ⁿ ⋮ 133
12 x (144ⁿ - 11ⁿ) = 12 x (144 - 11) x P = 12 x 133 x P ⋮ 133
144 chia cho 133 dư 11
Suy ra: 11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹ + 12² chia cho 133 dư 11

CÁCH KHÁC

Ta có: $12^{2n+1}+11^{n+2}=133(144^{n}+11^{n})-(11^{2}144^{n}+12.11^{n})$

Ta chỉ cần chứng minh:$11^{2}144^{n}+12.11^{n}$ chia hết cho 133.Ta có:

$11^{2}144^{n}\equiv 11^{n+2}$(mod 133)(1)

Ta lại có:$12\equiv -11^{2}$(mod 133)

$\Leftrightarrow 12.11^{n}\equiv -11^{n+2}$(mod 133)(2)

Cộng (1) và (2), ta có đpcm.

Xét modulo $3$ cho $n$ thôi . Ở đây mình xét cụ thể TH $n=3k$. TH \(n=3k+1,3k+2\) ta hoàn toàn làm tương tự

TH1: \(n=3k\)

Ta có :

\(11^3\equiv 1\pmod 7\Rightarrow 11^n=11^{3k}\equiv 1\pmod 7\Rightarrow 11^{n+2}\equiv 11^2\equiv 2\pmod 7\)

\(12^6\equiv 1\pmod 7\Rightarrow 12^{2n}=12^{6k}\equiv 1\pmod 7\Rightarrow 12^{2n+1}\equiv 12\pmod 7\)

\(\Rightarrow 11^{n+2}+12^{2n+1}\equiv 14\equiv 0\pmod 7\) $(1)$

Lại có:

\(11^3\equiv 1\pmod {19}\Rightarrow 11^n=11^{3k}\equiv 1\pmod {19}\Rightarrow 11^{n+2}\equiv 7\pmod {19}\)

\(12^6\equiv 1\pmod {19}\Rightarrow 12^{2n}=12^{6k}\equiv 1\pmod {19}\Rightarrow 12^{2n+1}\equiv 12\pmod {19}\)

\(\Rightarrow 11^{n+2}+12^{2n+1}\equiv 19\equiv 0\pmod {19}\) $(2)$

Từ \((1),(2)\) kết hợp với \((7,19)=1\) suy ra \(11^{n+2}+12^{2n+1}\vdots (7.19=133)\)(đpcm)

MOD TOÁN

A(n) = 11^(n+2) + 12^(2n+1)
khỏi suy nghĩ nhiều, ta dùng qui nạp nhé:
* n = 0: A(0) = 11² + 12 = 133 chia hết cho 133
* giả sử A(k) chia hết cho 133,
ta có: A(k) = 11^(k+2) + 12^(2k+1) chia hết cho 133
ta cm A(k+1) chia hết cho 133
A(k+1) = 11^(k+1+2) + 12^(2k+2+1) =
= 11^(k+2).11 + 12^(2k+1).12²
= 11.[11^(k+2)+12^(2k+1)] + (12²-11).12^(2k+1)
= 11.A(k) + 133.12^(2k+1)
Do giả thiết qui nạp A(k) chia hết cho 133 và 133.12^(2k+1) chi hết cho 133
nên ta có A(k+1) chia hết cho 133
tóm lại A(n) chia hết cho 133 với mọi n thuộc N

11^(n+2) + 12^(2n + 1)
= 121.11^n + 12. 144^n
= (133-12).11^n + 12.144^n
= 133.11^n + 12.(144^n-11^n)
Ta thấy:
133.11^n chia hết cho 133
144^n -11^n chia hết cho (144-11) hay 133
==> 11^(n+2) + 12^(2n + 1) chia hết cho 133