5) \(a^4+b^4+2\ge4ab\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge-\left(2a^2b^2-4ab+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\ge-2\left(ab-1\right)^2\)(đúng)

Vậy \(a^4+b^4+2\ge4ab\)

6) \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)^2=\left(\frac{a+c}{2}+\frac{b+d}{2}\right)^2\ge4\cdot\frac{a+c}{2}\cdot\frac{b+d}{2}=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)

Dấu ''='' xảy ra tại giá trị nào vậy bạn?

\(1\le a,b,c\le2\) 

\(\Rightarrow1-a\le0\Rightarrow c\left(1-a\right)\le0\Rightarrow4+c-ca\le4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{4+c-ca}\ge\frac{1}{4}\)

CM tương tự \(\Rightarrow\frac{1}{4+a-ab}+\frac{1}{4+b-bc}+\frac{1}{4+c-ca}\ge\frac{3}{4}\) 

Ta cần CM \(\frac{3}{4}\ge\frac{3}{3+abc}\) 

Thật vậy \(a,b,c\ge1\Rightarrow abc\ge1\)\(\Rightarrow3+abc\ge4\Rightarrow\frac{3}{4}\ge\frac{3}{3+abc}\) 

Dấu "="xảy ra khi a=b=c=1      

Ta có : \(a^2+b^2+4\ge ab+2\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+4\ge ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+4\right)\ge2\left(ab+2a+2b\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+8\ge2ab+4a+4b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+8-2ab-4a-4b\ge0\) 

\(\Leftrightarrow a^2+a^2+b^2+b^2+4+4-2ab-4a-4b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-4a+4\right)+\left(b^2-4b+4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\ge0\)

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có đpcm

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=2

\(\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\right)^2=\frac{1}{27}\left(a+b+c\right)^4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

3) Chứng minh bằng biến đổi tương đương ; \(2\left(a^2+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+b^3+a^2b+ab^2\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)(Chia cả hai vế cho a+b > 0)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu được chứng minh.

b) Bạn biến đổi tương tự.

3) \(a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow2a^2-2ab+2b^2\ge a^2+b^2\)

\(2\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(2a^2-2ab+2b^2\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2-2ab+2b^2\ge a^2+b^2\)(đúng với a,b>0)