Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo giả thiết ta có \(\left(a_1^2+\cdots+a_{2015}^2\right)-2\cdot2015\cdot\left(a_1+\cdots+a_{2015}\right)\le2015^3-2\cdot2015^3+1=1-2015^3\), do vậy mà \(\left(a_1-2015\right)^2+\cdots+\left(a_{2015}-2015\right)^2\le1\), vì các số bên vế trái đều là các số tự nhiên nên trong các số này có 2014 số bằng 0 số còn lại bằng 0 hoặc bằng 1. Thành thử trong 2015 số tự nhiên \(a_1,\ldots,a_{2015}\) có \(2014\) số bằng \(2015\) số còn lại có thể bằng \(2015\), có thể \(2014\) hoặc \(2016\). Tuy nhiên hai trường hợp sau không thoả mãn. Vậy tất cả các số bằng \(2015\)
Ta có
a21 + \(\frac{1}{1999^2}\)\(\ge\frac{2a_1}{1999}\)
.............
a21999 + \(\frac{1}{1999^2}\ge2\frac{a_{1999}}{1999}\)
Cộng vế theo vế ta được
a21 + a22 + ...+ a21999 + \(\frac{1}{1999}\)\(\ge\)(a1 + a2 + ...+ a1999 ) \(\frac{2}{1999}\)= \(\frac{2}{1999}\)
<=> a21 + a22 + ...+ a21999 \(\ge\frac{1}{1999}\)
Áp dụng BĐT Holder ta có:
\(VT=\left(1+2009a_1\right)\left(1+2009a_2\right)....\left(1+2009a_n\right)\)
\(\ge\left(1+\sqrt[n]{2009^na_1a_2a_3...a_n}\right)^n\)
\(=\left(1+2009\right)^n\)\(=2010^n=VP\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a_1=a_2=...=a_n=1>0\)
Vậy...
a/ x3 - 5x2 +3x+1 = 0
<=> (x3 - x2) + ( - 4x2 + 4x) + ( - x + 1) = 0
<=> (x - 1)(x2 - 4x - 1) = 0
<=> x = 1 hoặc x = 2 + \(\sqrt{5}\)hoặc x = 2 - \(\sqrt{5}\)
Ta có:
\(\left(a_n-\frac{1}{2010}\right)^2\ge0\Rightarrow a_n^2-\frac{2}{2010}a_n+\frac{1}{2010^2}\ge0\)
\(\Rightarrow a_n^2\ge\frac{2}{2010}a_n-\frac{1}{2010^2}\)
\(\Rightarrow a_1^2+a_2^2+...+a_{2010}^2\ge\frac{2}{2010}\left(a_1+a_2+...+a_{2010}\right)-2010.\frac{1}{2010^2}\)
\(=\frac{2}{2010}-\frac{1}{2010}=\frac{1}{2010}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a_1=a_2=...=a_n=\frac{1}{2010}\)