Câu a:

A = (36\(^{36}\) - 9\(^{10}\))

A = [\(\overline{..6}\) - (9\(^2\))\(^{10}\) ]

A = [\(\overline{..6}\) - (\(\overline{..1}\))\(^{10}\)]

A = [\(\overline{..6}\) - \(\overline{..1}\)]

A = \(\overline{..5}\)

Vậy A ⋮ 5 (1)

A = (36\(^{36}\) - 9\(^{10}\))

Vì 36 ⋮ 9; 9 ⋮ 9 nên A ⋮ 9 (2)

Từ (1) và (2) ta có:

A ⋮ 5 và 9

5 = 5; 9 = 3\(^2\)

BCNN(5; 9) = 5.3\(^2\) = 45 suy ra A ∈ B(45) hay A ⋮ 45(đpcm)

b) B = [12^(n+1)+11^(n+2)] ⋮ 133 ∀n nguyên dương

Giải:

Với n = 1 ta có:

B = [12\(^{1+1}\) + 11\(^{1+2}\)]

B = [12\(^2\) + 11\(^3\)]

B = [144 + 1331]

B = 1475

1475 : 133 = 11 dư 12

Vậy việc chứng minh B chia hết cho 133 với mọi n nguyên dương là không thể.

Đề sai nhé, phải là :

\(3^{2n+1}+2^{n+2}⋮7\)

Ta có :  \(9\equiv2\left(mod7\right)\Rightarrow9^n\equiv2^n\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow9^n.3+2^n.4\equiv2^n.3+2^n.4=2^n.\left(3+4\right)=2^n.7\equiv0\left(mod7\right)\)

Do đó : \(9^n.3+2^n.4⋮7\)

hay \(3^{2n+1}+2^{n+2}⋮7\) ( đpcm )

\(\left(8x-3\right)^{2n}=5^{2n}\)

Do 2n chẵn

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}8x-3=5\\8x-3=-5\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\x=-\frac{1}{4}\end{cases}}\)

a)  n = 1 thì điều trên không đúng => đề bài sai

b) 5⁵ - 5⁴ + 5³ = 5³.(5² - 5 + 1) = 5³.21 chia hết cho 7 vì 21 chia hết cho 7

c) 8⁷ - 2¹⁴ = 8⁷ - (2³)⁴.4 = 8⁷ - 8⁴.4 = 8⁴. (8³ - 4) = 8⁴.508

Vì 508 không chia hết cho 7 nên 8⁴.508 không chia hết cho 14 => đề sai

Câu a:

Với n = 0 ta có:

A = 6\(^{2n+1}\) + 5\(^{n+2}\)

= 6 + 5\(^2\)

= 6 + 25

= 31

31 chia 3 dư 1

Vậy chứng minh: A ⋮ 3 ∀ n là không thể

Câu b:

B = \(3^{4n+1}\) + 3.10 - 13

Với n = 0 ta có:

B = 3\(^1\) + 3.10 - 13

B = 3+ 30 - 13

B = 30 + (3 - 13)

B = 30 - 10

B = 20

20 không chia hết cho 64. Vậy chứng minh B chia hết cho 64 với mọi n là số tự nhiên là không thể.

1

Lời giải:

Câu 1)

Ta có: \(A_n=n^3+3n^2-n-3=n^2(n+3)-(n+3)\)

\(A_n=(n^2-1)(n+3)=(n-1)(n+1)(n+3)\)

Do $n$ lẻ nên đặt \(n=2k+1\)

\(A_n=(n-1)(n+1)(n+3)=2k(2k+2)(2k+4)\)

\(A_n=8k(k+1)(k+2)\)

Do \(k,k+1,k+2\) là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho $3$

\(\Rightarrow A_n=8k(k+1)(k+2)\vdots 3(1)\)

Mặt khác \(k,k+1\) là hai số tự nhiên liên tiếp nên \(k(k+1)\vdots 2\)

\(\Rightarrow A_n=8k(k+1)(k+2)\vdots (8.2=16)(2)\)

Từ \((1); (2)\) kết hợp với \((3,16)\) nguyên tố cùng nhau nên

\(A_n\vdots (16.3)\Leftrightarrow A_n\vdots 48\)

Ta có đpcm.

Bài 2:

\(A_n=2n^3+3n^2+n=n(2n^2+3n+1)\)

\(A_n=n[2n(n+1)+(n+1)]=n(n+1)(2n+1)\)

Vì \(n,n+1\) là hai số nguyên liên tiếp nên \(n(n+1)\vdots 2\)

\(\Rightarrow A_n\vdots 2(1)\)

Bây giờ, xét các TH sau:

TH1: \(n=3k\Rightarrow A_n=3k(n+1)(2n+1)\vdots 3\)

TH2: \(n=3k+1\Rightarrow 2n+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)\vdots 3\)

\(\Rightarrow A_n=n(n+1)(2n+1)\vdots 3\)

TH3: \(n=3k+2\Rightarrow n+1=3k+3=3(k+1)\vdots 3\)

\(\Rightarrow A_n=n(n+1)(2n+1)\vdots 3\)

Vậy trong mọi TH thì \(A_n\vdots 3(2)\)

Từ (1); (2) kết hợp với (2,3) nguyên tố cùng nhau suy ra \(A_n\vdots 6\)

Ta có đpcm.