C = 2004 + 2004²+2004³+2004⁴+...+2004¹⁰

C = (2004 +2004²)+(2004³+2004⁴)+...+(2004⁹+2004¹⁰)

C = 2004(1+2004) + 2004³ .(1+2004)+...+ 2004⁹. (1+2004)

C = 2004 .2005 + 2004³ .2005+....+2004⁹.2005

C = 2005.(2004+2004³ + ...+2004⁹)

Vì 2005 chia hết cho 2005 => 2005.(2004+2004³ + ...+2004⁹) chia hết cho 2005 => C chia hết cho 2005(ĐPCM)

Ta có : 

\(C=2004+2004^2+2004^3+...+2004^9+2004^{10}\)

\(=\left(2004+2004^2\right)+\left(2004^3+2004^4\right)+...+\left(2004^9+2004^{10}\right)\)

\(=2004\left(1+2004\right)+2004^3\left(1+2004\right)+...+2004^9\left(1+2004\right)\)

\(=2004.2005+2004^3.2005+...+2004^9.2005\)

\(=2005\left(2004+2004^3+...+2004^9\right)⋮2005\left(đpcm\right)\)

ta có A=2004+2004²+...........................................+2004¹⁰                                                                                                                                    tương đương A=2004.(1+2004)+2004².(1+2004)+..............+2004⁹(1+2004)

                           A=2004.2005+2004².2005......................+2004⁹.2005

             ta có    A=2005(2004+2004²................2004⁹)

                 suy ra A=[ 2005(2004+2004²...............2004⁹)] chia hết cho 2005

                tương đưong A=(2004+2004²................+2004¹⁰) chia hết cho 2005

A =   (2004 + 2004² ) + ( 2004³ + 2004⁴)+  (2004⁵ + 2004⁶)  +............................+ (2004⁸ + 2004¹⁰)
A = 2004 ( 1 + 2004 ) + 2004³ ( 1 +2004 ) + .... + 2004⁸ ( 1+ 2004 )
A = 2004.2005 + 2004³.2005 +....+2004⁸.2005
A = 2005.(  2004 + 2004² + 2004³ + 2004⁴ +  2004⁵ + 2004⁶  +............................+ 2004⁸ + 2004¹⁰   )
Vậy A chia hết cho 2005

có sai đề ở chỗ 2004^8+2004^10 ko bn

S = 4+4²+.....+4²⁰⁰⁴

S = (4+4²)+(4³+4⁴)+....+(4²⁰⁰³+4²⁰⁰⁴)

S = 1(4+4²)+4³(4+4²)+.....+4²⁰⁰³(4+4²)

S = 1.20 + 4³.20 +......+ 4²⁰⁰³.20

S = 20(1+4³+...+4²⁰⁰³) chia hết cho 10 (vì 20 chia hết cho 10)

S = 4+4²+4³+...+4²⁰⁰⁴

4S = 4²+4³+4⁴+...+4²⁰⁰⁵

3S = 4S - S = 4²⁰⁰⁵ - 4

=> 3S + 4 = 4²⁰⁰⁵

Mà 4²⁰⁰⁵ chia hết cho 4²⁰⁰⁴

=> 3S + 4 chia hết cho 4²⁰⁰⁴ (đpcm)

tại  sao 4^2005 lại chia hết cho 4^2004

Câu a:

A = n^2 + n + 1

TH1: n chia hết cho 5 thì A chia 5 dư 1

Th2: n không chia hết cho 5 thì: n chia 5 dư 1; 2; 3; 4

+ Nếu n chia 5 dư 1 thì n^2 chia 5 dư 1 khi đó:

A chia 5 dư: 1 + 1+ 1 = 3

+ Nếu n chia 5 dư 2 thì n^2 chia 5 dư: 4 khi đó:

A chia 5 dư: 4 + 2 + 1 - 5 = 2

+ Nếu n chia 5 dư 3 thì: n^2 chia 5 dư 4 khi đó:

A chia 5 dư: 4 + 3 + 1 - 5 = 3

+ Nếu n chia 5 dư 4 thì n^2 chia 5 dư: 4^2 chia 5 dư 1 khi đó:

A chia 5 dư: 1+ 4 + 1 - 5 = 1

Từ các lập luận trên ta có:

A chia 5 luôn dư. Vậy A không chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n(đpcm)

Câu b:

B = (n + 2003^2004).(n + 2004^2005)

Với n là số chẵn thì n + 2004^2005 là số chẵn mà số chẵn thì luôn chia hết cho 2.

Với n là số lẻ thì n + 2003^2004 là số chẵn mà số chẵn thì luôn chia hết cho 2.

Từ những lập luận trên ta có: B chia hết cho 2 với mọi n là số tự nhiên

Ta thấy: 19 đồng dư với 9(mod 10)

=>19 đồng dư với -1(mod 10)

=>19²⁰⁰⁴ đồng dư với (-1)²⁰⁰⁴(mod 10)

=>19²⁰⁰⁴ đồng dư với 1(mod 10)

=>19²⁰⁰⁴.19 đồng dư với 1.9(mod 10)

=>19²⁰⁰⁵ đồng dư với 9(mod 10)

Lại có: 11 đồng dư với 1(mod 10)

=>11²⁰⁰⁴ đồng dư với 1²⁰⁰⁴(mod 10)

=>11²⁰⁰⁴ đồng dư với 1(mod 10)

         =>19²⁰⁰⁵+11²⁰⁰⁴ đồng dư với 9+1(mod 10)

         =>19²⁰⁰⁵+11²⁰⁰⁴ đồng dư với 10(mod 10)

         =>19²⁰⁰⁵+11²⁰⁰⁴ đồng dư với 0(mod 10)

         =>19²⁰⁰⁵+11²⁰⁰⁴ chia hết cho 10

Tại sao phài chứng minh khi nhìn vào đã biết