Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Anh Unruly Kid ơi cô em dạy là:
\(\dfrac{\dfrac{1}{2^2}.\dfrac{1}{2^2}}{\dfrac{1}{2^4}.\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}.\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}}=\dfrac{2}{17}\)
Chứ không phải \(\dfrac{1}{4}\)anh ơi.
Hung nguyen Em khong chu y dau bang nen sai mat roi, ti em sua lai
Nguyễn Thị Ngọc Thơ 1 bài cx hem bt làm nữa :(( Nhưng theo t bt thì bài 2 thay vào r thì AM-GM hay Cauchy-Schwarz khá đơn giản ^^
lm cho bài 2 nè
\(\dfrac{a}{ab+3c}+\dfrac{b}{bc+3a}+\dfrac{c}{ca+3b}=\dfrac{a}{ab+\left(a+b+c\right)c}+\dfrac{b}{bc+\left(a+b+c\right)a}+\dfrac{c}{ca+\left(a+b+c\right)b}\)
\(=\dfrac{a}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)+a^2+b^2+c^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)+\left(c^2+1\right)-3}{2\left[\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{3}\right]^3}\ge\dfrac{9+2a+2b+2c-3}{2.8}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\)
dấu bằng xảy ra khi ...
\(P=\sum\dfrac{2a^3}{a+4b}+\sum\dfrac{3b^3}{a+4b}=2\sum\dfrac{a^4}{a^2+4ab}+3\sum\dfrac{b^4}{ba+4b^2}\)
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
\(P\ge2\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(ab+bc+ca\right)}+3\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(P\ge2\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}+3\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{5}+\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{5}\)
\(P\ge a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\ge6\)
GTNN của P là 6 khi \(a=b=c=\sqrt{2}\)
cái thể loại đi bình luận chửi dạo mới gọi là vừa lắm mồm vừa xàm :)
ai cũng có quyền nói, nói đúng thì không ai bảo gì đâu, nhưng mà, dell liên quan gì cũng thể hiện thì làm gì hơn ai :)
Sử dụng AM-GM, ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức phụ sau:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
\(P=\sum\dfrac{a^4}{a^2b+2a^2c}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sum a^2b+2\sum a^2c}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}+\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}}\)\(\ge1\)
GTNN là 1 khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
\(\dfrac{C}{2}=\dfrac{x}{\sqrt{4y}}+\dfrac{y}{\sqrt{4z}}+\dfrac{z}{\sqrt{4x}}\ge\dfrac{2x}{y+4}+\dfrac{2y}{z+4}+\dfrac{2z}{x+4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{C}{4}\ge\dfrac{x}{y+4}+\dfrac{y}{z+4}+\dfrac{z}{x+4}=\dfrac{x^2}{xy+4x}+\dfrac{y^2}{yz+4y}+\dfrac{z^2}{zx+4z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+4\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+12\right)}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z+12}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z+x+y+z}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow C\ge6\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 4
a=b+1; b=c+1, do c>0 =>b-1>0
\(2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=2\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{b+1}+\sqrt{b}}< \dfrac{2}{2\sqrt{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{b}}\)
\(2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)=2\dfrac{b-c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\dfrac{2}{\sqrt{b}+\sqrt{b-1}}< \dfrac{2}{2\sqrt{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{b}}\)
\(\Rightarrow2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{b}}< 2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\)
congratulations
ăn ở tốt sẽ thấy câu trả lời xứng đáng nhận 3GP của tớ
ai xem xong mà không thấy thì cho xem cái tay
Áp dụng bđt cauchy-schwarz ta có
\(\dfrac{a+b}{ab+c^2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(ab+c^2\right)\left(a+b\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2b+ab^2+ac^2+bc^2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(ab^2+ac^2\right)+\left(a^2b+bc^2\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a\left(b^2+c^2\right)+b\left(a^2+c^2\right)}\le\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}\)Chứng minh tương tự:
\(\dfrac{b+c}{bc+a^2}\le\dfrac{c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{c\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}\)
Cộng vế theo vế của các bđt trên ta được
\(\dfrac{a+b}{ab+c^2}+\dfrac{b+c}{bc+a^2}+\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}=\dfrac{b^2+c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2+c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2+a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)Vậy \(\dfrac{a+b}{ab+c^2}+\dfrac{b+c}{bc+a^2}+\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
bái tran nguyen bao quan làm sư phụ bài khó như vậy mà làm nhanh v:
BĐT đã cho được viết lại thành
\(\sum \frac{ab}{c^{2}+8ab}\leq \frac{1}{3}<=>\sum \frac{8ab}{c^{2}+8ab}\leq \frac{8}{3}<=>\sum \frac{c^{2}}{c^{2}+8ab}\geq \frac{1}{3}\)Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
\(\sum \frac{c^{2}}{c^{2}+8ab}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+8ab+8bc+8ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+6(ab+bc+ac)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+6.\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=\frac{1}{3}\)Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
#Genius_is_one_percent_inspiration_and_ninety-nine_percent_perspiration
→ Thiên tài chỉ có 1% là cảm hứng và 99% là mồ hôi
Arakawa Whiter :)) phải không Thơ
Giờ đọc lại đề mới thấy. E sửa đề của a hả. A bảo là k là số nguyên dương mà chứ có phải k là số tự nhiên đâu e :(
Thật ra đề cứ đăng lên rồi nếu phát hiện lỗi thì e sửa lại thôi. Không có gì đâu. Sống phải thoải mái tí đừng nguyên tắc quá. Không cần phải xin lỗi vậy đâu bé Thơ. Quan trọng là em phát hiện được nó sai rồi sửa. Chứ đừng vì sợ đề em cho sai mà không dám đăng lên. Đề sai thì sao sai thì lại càng tốt. Nhiều khi 1 cái đề sai lại giúp ích nhiều hơn đề đúng đó bé Thơ :D
Anh nói rồi a không muốn tranh luận với e. Có vẻ dạo này e hơi hiếu chiến. Không biết trong khoản thời gian này e thay đổi thế nào. Thôi e đừng cmt vô cái này nữa nha.
Dự đoán n = 1001 là số nguyên lớn hơn 1 nhỏ nhất thỏa mãn nk - n ⋮ 1000 với k ∈ N. Ta sẽ chứng minh n = 1001 thỏa mãn nk - n với k ∈ N và không có số tự nhiên nào lớn hơn 1 và nhỏ hơn 1001 thỏa mãn.
*) Chứng mình n = 1001 thỏa mãn hay 1001k - 1001 ⋮ 1000 với mọi k ∈ N
Với k = 0 ta có 1001k - 1001 = -1000 ⋮ 1000 (TM)
Với k = 1 ta có 1001k - 1001 = 0 ⋮ 1000
Giả sử mệnh đề đúng với số tự nhiên a nào đó, ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với a + 1 hay 1001a + 1 - 1001 ⋮ 1000
Thật vậy:
1001a + 1 - 1001 = 1001a.1001 - 1001 = (1001a - 1001) + 1000.1001a
Vì 1001a - 1001 ⋮ 1000 (gt quy nạp); 1001a.1000 ⋮ 1000
=> 1001a + 1 - 1001 ⋮ 1000
Hoàn tất chứng minh
*) Chứng minh không có số tự nhiên n nào ∈ (1; 1001) thỏa mãn nk - n ⋮ 1000
Giả sử tồn tại số tự nhiên a mà 1 < a < 1001 thỏa mãn nk - n ⋮ 1000
Với k = 0 ta có: ak - a = a0 - a = 1 - a
Vì 1 < a < 1001 => -1 > -a > -1001 => 0 > 1 - a > 1000 => 1 - a không chia hết cho 1000
Vậy ...
ngonhuminh một đề bài sai sẽ không thể có lời giải thỏa mãn được. Bài làm trên sẽ minh chứng cho đề bài Nguyễn Thị Ngọc Thơ đưa ra lúc đầu là đúng và đã có lời giải. Giờ thì chỉ cần quan tâm đến với TH k > 0 thôi. Vậy nên anh không cần nói gì nữa đâu. Và cũng xin anh, dừng ngay đi, trước khi lớn chuyện
Shurima Azir Có biết thế nào là một cái đề sai không?
Cái đề sai không thể có một lời giải đúng
không phải đề bài sai sẽ không có lời giải thỏa mãn
đề bài sai có lời giải => chỉ con BÒ thôi
Shurima Azirbảo từ đầu đề bài của Nguyễn Thị Ngọc Thơ không SAI
một lời giải đúng ắt có đề bài đúng
một lời giải sai trên nền của đề bài đúng :
đi sửa lại cái đề để lời giải không SAI
gọi là SÚC vật
Shurima Azirkhông cần c/m cũng biết cái đề không sai.
đâu phải cứ phải c/m
nhìn lời giải biết GV ngu như bò ; không cần phải giám định
Anh nóng tính thế. Em chỉ hỏi thôi mà, đâu nhất thiết anh phải nói đến mức như vậy. Anh đừng nên vơ đũa cả nắm, đừng nên vì một người mà phán đoán về những người xung quanh. Thực sự em không biết nhiều về toán (nói thẳng ra là em dốt toán) nhưng bù lại có thể em học tốt cái khác. Con người ai cũng thế, đâu bắt buộc phải hoàn hảo. Đặt câu hỏi cũng bị phán xét ư ? Với lại việc em làm CTV, thì cứ nhất thiết phải toàn diện về mọi mặt, không được phép hỏi những câu hỏi ngớ ngẩn ạ ? Khi được thầy bổ nhiệm làm CTV, em chưa bao giờ được ai nhắc nhở về vấn đề này. Thử hỏi liệu là anh, anh có phải là một con người hoàn thiện về tất cả mọi mặt không ? Có thể anh giỏi toán, anh hơn được những người khác về khoản này, đồng ý là như vậy đi, nhưng anh lại không ứng xử tốt trong việc kiểm soát hành vi của mình. Em chỉ bày tỏ quan điểm và ý kiến riêng của mình khi bị người khác phê phán như vậy. Em không muốn nói gì thêm vì đây đang là nơi học tập, mình tranh cãi nhiều cũng phần nào ảnh hưởng đến những người khác. Em xin hết.
Cái vấn đề có sai đề hay không đều là do lỗi của em, các anh chị đừng tranh cãi nữa ạ.
Có thể đề đúng, chỉ là sai với đề anh Hùng đưa em, nên quy kết một câu vẫn là em sai, không tôn trọng người ra đề.
Mất điện cả ngày, lên loạn thông báo. Giờ em đi học thêm, 10h mới về.
- The End-
Làm theo đề của anh Hung nguyen
Với \(k\ge3\) thì ta luôn có \(n^k-n⋮n^2-n\)nên bài toán đưa về tìm \(n\) min để chia hết cho \(1000\) hay nói cách khác \(n\left(n-1\right)\) chia hết cho \(2^3.5^3\). Tìm được điều kiện để \(n^2-n\) thỏa mãn thì đương nhiên các số \(k>2\) khác cũng mặc định sẽ thỏa.
\(k=2\Rightarrow n^2-n=n\left(n-1\right)⋮1000\)
\(\left(n,n-1\right)=1;1000=2^3.5^3\)
+)\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}n⋮2^3\\n-1⋮5^3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}n=8k\\8k-1=125m\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow k=15m+\dfrac{5m+1}{8}\)
\(\Rightarrow5m+1⋮8\Rightarrow m\ge3\Rightarrow n_{min}=376\)
+) \(\left\{{}\begin{matrix}n⋮5^3\\n-1⋮2^3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}n=125k\\125k-1=8m\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m=15k+\dfrac{5k-1}{8}\)
\(\Rightarrow5k-1⋮8\Rightarrow k\ge5\Rightarrow n_{min}=675\)
Vậy GTNN của \(n\) là 376
Ơ, không bđt nữa à ? Chuyển sang số học à :(
Cơ mà... 9 cái quiz r, quiz nào cũng đăng cái chữ đậm bên dưới nhưng chưa dịch cái nào sất á :))
Đoán thử 1000 xem :))
Ai là người kêu ca đòi số học nhỉ?? Tui tìm đề cho ông còn gì -.-
Lên mạng dịch kìa, đầy trên ấy, tớ lấy đại thôi :))
Hung nguyen, không biết dính không nhỉ :))
Thiên tài là một phần trăm cảm hứng và chín mươi chín phần trăm mồ hôi
Chúc may mắn
Khó quá má ơi
Thử đi nào, sai thì thôi , mất gì đâu :))
P/s: Đề idol tớ sao dễ dược :>>
không biết làm sao thử
Bài làm :
cai quai gi the nay -.-
Đáp án
n(n^(k-1)-1) chia hết cho 1000
trường hợp n chia hết cho 1000 thì n min =1000 Trường hợp n^(k-1)-1 Chia hết cho 1000 với mọi k thì n^(k-1) chia cho 1000 dư 1 với mọi k=> n=1000k+1=> n min =1001 => n min =1000maybe right, chờ a Hung vào check đáp án :))
dù đúng anh cũng nợ em 2 GP :))
Trật lất. Thế 625 vô thử đi e. Mà 625 cũng không phải đáp án đâu nha :D
Hung nguyen 376
Nhớ nhầm rồi, nhiều người kêu quiz đăng bđt, lớp dưới không làm đc nên t gợi ý số học cho thôi chứ. Mà bà tìm cái nỗi gì, đc anh Hùng gửi đề cho đăng phát lên luôn không nghĩ ngợi còn gì
đoán à?chị Oanh khá thích trò này ( °▽、° )
ờ, nhưng mà tui phải kêu gọi anh Hùng giúp còn gì :))
Thế cuối cùng là ông muốn thể loại nào ???
Không biết đường mà lần luôn :))
Nếu mà tui tìm trên mạng thì mấy bạn khác cũng tìm ra thôi -.-
n=1001
sai rồi