Áp dụng bđt cauchy-schwarz ta có

\(\dfrac{a+b}{ab+c^2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(ab+c^2\right)\left(a+b\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2b+ab^2+ac^2+bc^2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(ab^2+ac^2\right)+\left(a^2b+bc^2\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a\left(b^2+c^2\right)+b\left(a^2+c^2\right)}\le\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}\)Chứng minh tương tự:

\(\dfrac{b+c}{bc+a^2}\le\dfrac{c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{c\left(a^2+b^2\right)}\)

\(\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}\)

Cộng vế theo vế của các bđt trên ta được

\(\dfrac{a+b}{ab+c^2}+\dfrac{b+c}{bc+a^2}+\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}=\dfrac{b^2+c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2+c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2+a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)Vậy \(\dfrac{a+b}{ab+c^2}+\dfrac{b+c}{bc+a^2}+\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

bái tran nguyen bao quan làm sư phụ bài khó như vậy mà làm nhanh v:

Lỗi đề rồi

\(\dfrac{C}{2}=\dfrac{x}{\sqrt{4y}}+\dfrac{y}{\sqrt{4z}}+\dfrac{z}{\sqrt{4x}}\ge\dfrac{2x}{y+4}+\dfrac{2y}{z+4}+\dfrac{2z}{x+4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{C}{4}\ge\dfrac{x}{y+4}+\dfrac{y}{z+4}+\dfrac{z}{x+4}=\dfrac{x^2}{xy+4x}+\dfrac{y^2}{yz+4y}+\dfrac{z^2}{zx+4z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+4\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+12\right)}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z+12}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z+x+y+z}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow C\ge6\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 4

Không biết làm

\(P=\sum\dfrac{2a^3}{a+4b}+\sum\dfrac{3b^3}{a+4b}=2\sum\dfrac{a^4}{a^2+4ab}+3\sum\dfrac{b^4}{ba+4b^2}\)

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:

\(P\ge2\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(ab+bc+ca\right)}+3\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(P\ge2\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}+3\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{5}+\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{5}\)

\(P\ge a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\ge6\)

GTNN của P là 6 khi \(a=b=c=\sqrt{2}\)

cái thể loại đi bình luận chửi dạo mới gọi là vừa lắm mồm vừa xàm :)

ai cũng có quyền nói, nói đúng thì không ai bảo gì đâu, nhưng mà, dell liên quan gì cũng thể hiện thì làm gì hơn ai :)

Sử dụng AM-GM, ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức phụ sau:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(P=\sum\dfrac{a^4}{a^2b+2a^2c}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sum a^2b+2\sum a^2c}\)

\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}+\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}}\)\(\ge1\)

GTNN là 1 khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Nguyễn Thị Ngọc Thơ 1 bài cx hem bt làm nữa :(( Nhưng theo t bt thì bài 2 thay vào r thì AM-GM hay Cauchy-Schwarz khá đơn giản ^^

lm cho bài 2 nè

\(\dfrac{a}{ab+3c}+\dfrac{b}{bc+3a}+\dfrac{c}{ca+3b}=\dfrac{a}{ab+\left(a+b+c\right)c}+\dfrac{b}{bc+\left(a+b+c\right)a}+\dfrac{c}{ca+\left(a+b+c\right)b}\)

\(=\dfrac{a}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)

\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)+a^2+b^2+c^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)+\left(c^2+1\right)-3}{2\left[\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{3}\right]^3}\ge\dfrac{9+2a+2b+2c-3}{2.8}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\)

dấu bằng xảy ra khi ...

Anh Unruly Kid ơi cô em dạy là:

\(\dfrac{\dfrac{1}{2^2}.\dfrac{1}{2^2}}{\dfrac{1}{2^4}.\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}.\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}}=\dfrac{2}{17}\)

Chứ không phải \(\dfrac{1}{4}\)anh ơi.

Hung nguyen Em khong chu y dau bang nen sai mat roi, ti em sua lai

#Genius_is_one_percent_inspiration_and_ninety-nine_percent_perspiration

→ Thiên tài chỉ có 1% là cảm hứng và 99% là mồ hôi

Arakawa Whiter :)) phải không Thơ

Giờ đọc lại đề mới thấy. E sửa đề của a hả. A bảo là k là số nguyên dương mà chứ có phải k là số tự nhiên đâu e :(

a=b+1; b=c+1, do c>0 =>b-1>0

\(2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=2\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{b+1}+\sqrt{b}}< \dfrac{2}{2\sqrt{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{b}}\)

\(2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)=2\dfrac{b-c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\dfrac{2}{\sqrt{b}+\sqrt{b-1}}< \dfrac{2}{2\sqrt{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{b}}\)

\(\Rightarrow2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{b}}< 2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\)

congratulations

ăn ở tốt sẽ thấy câu trả lời xứng đáng nhận 3GP của tớ

ai xem xong mà không thấy thì cho xem cái tay

BĐT đã cho được viết lại thành

\(\sum \frac{ab}{c^{2}+8ab}\leq \frac{1}{3}<=>\sum \frac{8ab}{c^{2}+8ab}\leq \frac{8}{3}<=>\sum \frac{c^{2}}{c^{2}+8ab}\geq \frac{1}{3}\)Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

\(\sum \frac{c^{2}}{c^{2}+8ab}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+8ab+8bc+8ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+6(ab+bc+ac)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+6.\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=\frac{1}{3}\)Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Nếu thế thì ra đề tổ hợp dễ dễ chút đi