Áp dụng bđt cauchy-schwarz ta có

\(\dfrac{a+b}{ab+c^2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(ab+c^2\right)\left(a+b\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2b+ab^2+ac^2+bc^2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(ab^2+ac^2\right)+\left(a^2b+bc^2\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a\left(b^2+c^2\right)+b\left(a^2+c^2\right)}\le\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}\)Chứng minh tương tự:

\(\dfrac{b+c}{bc+a^2}\le\dfrac{c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{c\left(a^2+b^2\right)}\)

\(\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}\)

Cộng vế theo vế của các bđt trên ta được

\(\dfrac{a+b}{ab+c^2}+\dfrac{b+c}{bc+a^2}+\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}=\dfrac{b^2+c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2+c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2+a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)Vậy \(\dfrac{a+b}{ab+c^2}+\dfrac{b+c}{bc+a^2}+\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

bái tran nguyen bao quan làm sư phụ bài khó như vậy mà làm nhanh v:

Lỗi đề rồi

\(\dfrac{C}{2}=\dfrac{x}{\sqrt{4y}}+\dfrac{y}{\sqrt{4z}}+\dfrac{z}{\sqrt{4x}}\ge\dfrac{2x}{y+4}+\dfrac{2y}{z+4}+\dfrac{2z}{x+4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{C}{4}\ge\dfrac{x}{y+4}+\dfrac{y}{z+4}+\dfrac{z}{x+4}=\dfrac{x^2}{xy+4x}+\dfrac{y^2}{yz+4y}+\dfrac{z^2}{zx+4z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+4\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+12\right)}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z+12}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z+x+y+z}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow C\ge6\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 4

Không biết làm

\(P=\sum\dfrac{2a^3}{a+4b}+\sum\dfrac{3b^3}{a+4b}=2\sum\dfrac{a^4}{a^2+4ab}+3\sum\dfrac{b^4}{ba+4b^2}\)

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:

\(P\ge2\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(ab+bc+ca\right)}+3\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(P\ge2\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}+3\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{5}+\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{5}\)

\(P\ge a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\ge6\)

GTNN của P là 6 khi \(a=b=c=\sqrt{2}\)

Sử dụng AM-GM, ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức phụ sau:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(P=\sum\dfrac{a^4}{a^2b+2a^2c}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sum a^2b+2\sum a^2c}\)

\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}+\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}}\)\(\ge1\)

GTNN là 1 khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

_ Tôi không tiếp những người kém hiểu biết, không biết ân oán , quan hệ của tôi với bạn trên lại cứ đi vuốt mông ngựa, lại thích nhảy vào chuyện người khác...

_Tôi lười tranh cãi với những người đấu không lại thì dùng trò trẻ trâu, những ai giỏi lái đề tài..., không có trách nhiệm, không biết tự nhìn nhận khuyết điểm.

_Mặc dù tôi không thích nhiều chuyện, tôi cũng không phải thánh mẫu, tôi sẵn sàng phản dame những người gây sự. Tôi không sợ bị nói gì mà ‘’CTV kênh kiệu, hách dịch..’’khi sự thật rành rành, hơn cả, CTV cũng là người, tôi gắn lên mác CTV để giúp các bạn tìm tỏi, học hỏi,..., không phải để phục vụ vấn đề tâm sinh lý của mấy bạn câu fame, hám GP,..

_Quan trọng nhất, câu hỏi tôi post lên để tìm tòi, đúc rút những cái hay , cái mới thêm trong lời giải của mọi người, chuẩn bị cho kì thi của bản thân,.. nơi giao lưu của mấy bạn box Toán,... Không phải cái sân chơi cho mấy bạn giải trí, xàm ngôn,nịnh bợ, làm người hùng...Không tham gia thì mời get out of here.

_ Tôi đang rất tôn trọng các bạn, nên ăn nói cho văn hóa vào.

_Xin lỗi mọi người, những ai chân chính tham gia đừng để ý vấn đề này :>

- The End -

lm cho bài 2 nè

\(\dfrac{a}{ab+3c}+\dfrac{b}{bc+3a}+\dfrac{c}{ca+3b}=\dfrac{a}{ab+\left(a+b+c\right)c}+\dfrac{b}{bc+\left(a+b+c\right)a}+\dfrac{c}{ca+\left(a+b+c\right)b}\)

\(=\dfrac{a}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)

\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)+a^2+b^2+c^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)+\left(c^2+1\right)-3}{2\left[\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{3}\right]^3}\ge\dfrac{9+2a+2b+2c-3}{2.8}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\)

dấu bằng xảy ra khi ...

1/ \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-\dfrac{3}{2\left(a+b+c-1\right)}\ge3-\dfrac{3}{2\left(3-1\right)}=\dfrac{9}{4}\)

Vậy bé Nguyễn Thị Ngọc Thơ được trọn điểm câu này.

PS: Em xóa hộ a câu trả lời bị lỗi kia nha.

45782422_308896776597379_7259510326796746752_n.png (1366×768)

Nếu bạn thấy từ max làm cho bạn bị giới hạn về khả năng. Tìm giá trị lớn nhất làm cho bạn thấy khó chịu. Không sao. Bạn có thể chuyển qua tìm min cho bài này:

1/A = a² + b² + (1/a²) + (1/b²)

#Genius_is_one_percent_inspiration_and_ninety-nine_percent_perspiration

→ Thiên tài chỉ có 1% là cảm hứng và 99% là mồ hôi

Arakawa Whiter :)) phải không Thơ

Giờ đọc lại đề mới thấy. E sửa đề của a hả. A bảo là k là số nguyên dương mà chứ có phải k là số tự nhiên đâu e :(

a=b+1; b=c+1, do c>0 =>b-1>0

\(2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=2\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{b+1}+\sqrt{b}}< \dfrac{2}{2\sqrt{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{b}}\)

\(2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)=2\dfrac{b-c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\dfrac{2}{\sqrt{b}+\sqrt{b-1}}< \dfrac{2}{2\sqrt{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{b}}\)

\(\Rightarrow2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{b}}< 2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\)

congratulations

ăn ở tốt sẽ thấy câu trả lời xứng đáng nhận 3GP của tớ

ai xem xong mà không thấy thì cho xem cái tay

BĐT đã cho được viết lại thành

\(\sum \frac{ab}{c^{2}+8ab}\leq \frac{1}{3}<=>\sum \frac{8ab}{c^{2}+8ab}\leq \frac{8}{3}<=>\sum \frac{c^{2}}{c^{2}+8ab}\geq \frac{1}{3}\)Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

\(\sum \frac{c^{2}}{c^{2}+8ab}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+8ab+8bc+8ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+6(ab+bc+ac)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+6.\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=\frac{1}{3}\)Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

say oh yeah t ko bt lm =))