Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bđt cauchy-schwarz ta có
\(\dfrac{a+b}{ab+c^2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(ab+c^2\right)\left(a+b\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2b+ab^2+ac^2+bc^2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(ab^2+ac^2\right)+\left(a^2b+bc^2\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a\left(b^2+c^2\right)+b\left(a^2+c^2\right)}\le\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}\)Chứng minh tương tự:
\(\dfrac{b+c}{bc+a^2}\le\dfrac{c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{c\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}\)
Cộng vế theo vế của các bđt trên ta được
\(\dfrac{a+b}{ab+c^2}+\dfrac{b+c}{bc+a^2}+\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}=\dfrac{b^2+c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2+c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2+a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)Vậy \(\dfrac{a+b}{ab+c^2}+\dfrac{b+c}{bc+a^2}+\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
bái tran nguyen bao quan làm sư phụ bài khó như vậy mà làm nhanh v:
\(\dfrac{C}{2}=\dfrac{x}{\sqrt{4y}}+\dfrac{y}{\sqrt{4z}}+\dfrac{z}{\sqrt{4x}}\ge\dfrac{2x}{y+4}+\dfrac{2y}{z+4}+\dfrac{2z}{x+4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{C}{4}\ge\dfrac{x}{y+4}+\dfrac{y}{z+4}+\dfrac{z}{x+4}=\dfrac{x^2}{xy+4x}+\dfrac{y^2}{yz+4y}+\dfrac{z^2}{zx+4z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+4\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+12\right)}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z+12}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z+x+y+z}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow C\ge6\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 4
\(P=\sum\dfrac{2a^3}{a+4b}+\sum\dfrac{3b^3}{a+4b}=2\sum\dfrac{a^4}{a^2+4ab}+3\sum\dfrac{b^4}{ba+4b^2}\)
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
\(P\ge2\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(ab+bc+ca\right)}+3\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(P\ge2\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}+3\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{5}+\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{5}\)
\(P\ge a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\ge6\)
GTNN của P là 6 khi \(a=b=c=\sqrt{2}\)
Anh Unruly Kid ơi cô em dạy là:
\(\dfrac{\dfrac{1}{2^2}.\dfrac{1}{2^2}}{\dfrac{1}{2^4}.\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}.\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}}=\dfrac{2}{17}\)
Chứ không phải \(\dfrac{1}{4}\)anh ơi.
Hung nguyen Em khong chu y dau bang nen sai mat roi, ti em sua lai
Nguyễn Thị Ngọc Thơ 1 bài cx hem bt làm nữa :(( Nhưng theo t bt thì bài 2 thay vào r thì AM-GM hay Cauchy-Schwarz khá đơn giản ^^
lm cho bài 2 nè
\(\dfrac{a}{ab+3c}+\dfrac{b}{bc+3a}+\dfrac{c}{ca+3b}=\dfrac{a}{ab+\left(a+b+c\right)c}+\dfrac{b}{bc+\left(a+b+c\right)a}+\dfrac{c}{ca+\left(a+b+c\right)b}\)
\(=\dfrac{a}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)+a^2+b^2+c^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)+\left(c^2+1\right)-3}{2\left[\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{3}\right]^3}\ge\dfrac{9+2a+2b+2c-3}{2.8}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\)
dấu bằng xảy ra khi ...
a=b+1; b=c+1, do c>0 =>b-1>0
\(2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=2\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{b+1}+\sqrt{b}}< \dfrac{2}{2\sqrt{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{b}}\)
\(2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)=2\dfrac{b-c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\dfrac{2}{\sqrt{b}+\sqrt{b-1}}< \dfrac{2}{2\sqrt{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{b}}\)
\(\Rightarrow2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{b}}< 2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\)
congratulations
ăn ở tốt sẽ thấy câu trả lời xứng đáng nhận 3GP của tớ
ai xem xong mà không thấy thì cho xem cái tay
BĐT đã cho được viết lại thành
\(\sum \frac{ab}{c^{2}+8ab}\leq \frac{1}{3}<=>\sum \frac{8ab}{c^{2}+8ab}\leq \frac{8}{3}<=>\sum \frac{c^{2}}{c^{2}+8ab}\geq \frac{1}{3}\)Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
\(\sum \frac{c^{2}}{c^{2}+8ab}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+8ab+8bc+8ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+6(ab+bc+ac)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+6.\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=\frac{1}{3}\)Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
#Genius_is_one_percent_inspiration_and_ninety-nine_percent_perspiration
→ Thiên tài chỉ có 1% là cảm hứng và 99% là mồ hôi
Arakawa Whiter :)) phải không Thơ
Giờ đọc lại đề mới thấy. E sửa đề của a hả. A bảo là k là số nguyên dương mà chứ có phải k là số tự nhiên đâu e :(
cái thể loại đi bình luận chửi dạo mới gọi là vừa lắm mồm vừa xàm :)
ai cũng có quyền nói, nói đúng thì không ai bảo gì đâu, nhưng mà, dell liên quan gì cũng thể hiện thì làm gì hơn ai :)
Sử dụng AM-GM, ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức phụ sau:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
\(P=\sum\dfrac{a^4}{a^2b+2a^2c}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sum a^2b+2\sum a^2c}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}+\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}}\)\(\ge1\)
GTNN là 1 khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Khi a=b=c=1
_ Tôi không tiếp những người kém hiểu biết, không biết ân oán , quan hệ của tôi với bạn trên lại cứ đi vuốt mông ngựa, lại thích nhảy vào chuyện người khác...
_Tôi lười tranh cãi với những người đấu không lại thì dùng trò trẻ trâu, những ai giỏi lái đề tài..., không có trách nhiệm, không biết tự nhìn nhận khuyết điểm.
_Mặc dù tôi không thích nhiều chuyện, tôi cũng không phải thánh mẫu, tôi sẵn sàng phản dame những người gây sự. Tôi không sợ bị nói gì mà ‘’CTV kênh kiệu, hách dịch..’’khi sự thật rành rành, hơn cả, CTV cũng là người, tôi gắn lên mác CTV để giúp các bạn tìm tỏi, học hỏi,..., không phải để phục vụ vấn đề tâm sinh lý của mấy bạn câu fame, hám GP,..
_Quan trọng nhất, câu hỏi tôi post lên để tìm tòi, đúc rút những cái hay , cái mới thêm trong lời giải của mọi người, chuẩn bị cho kì thi của bản thân,.. nơi giao lưu của mấy bạn box Toán,... Không phải cái sân chơi cho mấy bạn giải trí, xàm ngôn,nịnh bợ, làm người hùng...Không tham gia thì mời get out of here.
_ Tôi đang rất tôn trọng các bạn, nên ăn nói cho văn hóa vào.
_Xin lỗi mọi người, những ai chân chính tham gia đừng để ý vấn đề này :>
- The End -
Tớ không muốn to chuyện nhưng mọi người biết bạn @LY VÂN VÂN này đã nói gì với tớ không?
Trích: (không biết chụp màn hình)
_đ.ị.t m.ẹ đéo có gp thôi còn sủa nhiều
_chững cứ hỏi thầy đâu
Tôi biết trước kia bạn quen biết Trần Thọ Đạt vì cuộc thi Địa của cậu ấy, cái kiểu ''giậu đổ bìm leo'', ''nâng cao đạp thấp'' như bạn tôi gặp nhiều rồi :))
Cái gì gọi là vật họp theo loài, người phân theo nhóm tôi đều hiểu :))
Nguyễn Thị Ngọc Thơ Anh chưa được GP nào cả
Cmt cho đủ 10 cái =))
.........
............
...........
...........
...............
......
.............
Đặt a2 = x; b2 = y; c2 = z
Bài toán trở thành cho x + y + z ≥ 3
Tìm min \(P=\dfrac{x}{\sqrt{y}+2\sqrt{z}}+\dfrac{y}{\sqrt{z}+2\sqrt{x}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}\)
\(P=\dfrac{x}{\sqrt{y.1}+2\sqrt{z.1}}+\dfrac{y}{\sqrt{z.1}+2\sqrt{x.1}}+\dfrac{z}{\sqrt{x.1}+2\sqrt{y.1}}\ge\dfrac{x}{\dfrac{y+2z+3}{2}}+\dfrac{y}{\dfrac{z+2x+3}{2}}+\dfrac{z}{\dfrac{x+2y+3}{2}}=2\left(\dfrac{x}{y+2z+3}+\dfrac{y}{z+2x+3}+\dfrac{z}{x+2y+3}\right)\) (Cô - si)
\(\dfrac{P}{2}\ge\dfrac{x}{y+2z+3}+\dfrac{y}{z+2x+3}+\dfrac{z}{x+2y+3}\ge\dfrac{x}{x+2y+3z}+\dfrac{y}{y+2z+3x}+\dfrac{z}{z+2x+3y}\)
\(\dfrac{P}{2}\ge\dfrac{x^2}{x^2+2xy+3zx}+\dfrac{y^2}{y^2+2yz+3xy}+\dfrac{z^2}{z^2+2zx+3yz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1 hay a = b = c = 1
Lâu lâu không gặp, cmt cái nhẹ cho chị đỡ quên em
Không sao không sao, keep calm nào. Hai bên đều có chút hiểu lầm với nhau, thôi thì năm mới mình bỏ qua, gạt hết đi. Thơ với Đạt cứ bình tĩnh nhaa, để chuyện này nguôi xuống :33 Sau này làm bạn với nhau, có thêm bạn mới tốt hơn chứ =))
Nhưng cũng phải đồng ý là bạn Vân kia nói có phần hơi quá đáng, từ từ nói chuyện có phải dễ hơn không :)))
cứ muốn làm sống lại box Toán nhưng cứ gặp mấy thể loại thế này thì làm gì còn tinh thần tar ?
khá là buồn
Lâu lắm rồi ms thấy quay lại, Nguyễn Thị Ngọc Thơ
ầy, hứng lại thôi :))
Uk
Ko được vậy nhé bạn :) Tối đa 2 GP thôi 10 GP là GIAN LẬN RỒI ĐẤY NHÉ
Mình nhắc NHẸ thế thôi :))
Gian lận? Bạn gì ơi tôi xin phép thầy phynit rồi ạ =))
Bạn là gì mà đặt luật lệ với tớ vậy ???
Cứ cho là thế thì tớ gian lận chán rồi, bạn quan tâm muộn vậy :))
Câu hỏi của Nguyễn Thị Ngọc Thơ - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Câu hỏi của Nguyễn Thị Ngọc Thơ - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Có nhiều mems cũng làm thế rồi nhé, bạn tự nhiên sân si vào câu hỏi của mình thế... Nực cười =))
Câu hỏi của Đức Minh - Vật lý lớp 10 | Học trực tuyến
Cái này công bằng nên bạn muốn GP thì cứ trả lời đi, không được cũng đừng dọa tớ chứ, đau tim quá à =))
Nguyễn Thị Ngọc Thơ
Ồ thế hả vậy cứ tiếp tục công vc của bạn đi :)) Mình NHẮC NHẸ thôi . Mình XL vì ko bt nạ
OK thôi, không biết không phải tội :>>
Nhưng cảm phiền bạn bỏ từ nhắc đi được không? Tớ thấy mình chả làm gì sai cả :))
hít hà =))
Nguyễn Thị Ngọc Th
CO ai Noi ban LaM SAi Dau na HHay ChuAa kia :O
haha, bạn buon cuoi qua co :>
Nhắc nhở là gì, mang nghĩa như nào CTV Văn như bạn không hiểu à ???
Dung co doi trang thay den bạn hien a =))
Nhắc nhẹ... kaka, tớ cười :))
Nguyễn Thị Ngọc Thơ
có bạn đang cay :)) thấy gì có lẽ sai thì mình nhắc thoi XLXXD
không ai cay ở đây đâu bạn, nhưng lời bạn cứ như trong bông có kim :))
thấy gì có lẽ sai... có vấn đề gì trong ques của tớ sao?
Với cả bạn lái chủ đề tốt quá đấy, tớ đang nói đến từ ''Nhắc'' của bạn :))
Cay cũng đúng, tưởng tượng bạn bị tông xe bới 1 kẻ say rượu rồi nó bảo là do lỗi của bạn xem, sẽ cay thôi =))