Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{C}{2}=\dfrac{x}{\sqrt{4y}}+\dfrac{y}{\sqrt{4z}}+\dfrac{z}{\sqrt{4x}}\ge\dfrac{2x}{y+4}+\dfrac{2y}{z+4}+\dfrac{2z}{x+4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{C}{4}\ge\dfrac{x}{y+4}+\dfrac{y}{z+4}+\dfrac{z}{x+4}=\dfrac{x^2}{xy+4x}+\dfrac{y^2}{yz+4y}+\dfrac{z^2}{zx+4z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+4\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+12\right)}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z+12}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z+x+y+z}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow C\ge6\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 4
Anh Unruly Kid ơi cô em dạy là:
\(\dfrac{\dfrac{1}{2^2}.\dfrac{1}{2^2}}{\dfrac{1}{2^4}.\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}.\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}}=\dfrac{2}{17}\)
Chứ không phải \(\dfrac{1}{4}\)anh ơi.
Hung nguyen Em khong chu y dau bang nen sai mat roi, ti em sua lai
Nguyễn Thị Ngọc Thơ 1 bài cx hem bt làm nữa :(( Nhưng theo t bt thì bài 2 thay vào r thì AM-GM hay Cauchy-Schwarz khá đơn giản ^^
lm cho bài 2 nè
\(\dfrac{a}{ab+3c}+\dfrac{b}{bc+3a}+\dfrac{c}{ca+3b}=\dfrac{a}{ab+\left(a+b+c\right)c}+\dfrac{b}{bc+\left(a+b+c\right)a}+\dfrac{c}{ca+\left(a+b+c\right)b}\)
\(=\dfrac{a}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)+a^2+b^2+c^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)+\left(c^2+1\right)-3}{2\left[\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{3}\right]^3}\ge\dfrac{9+2a+2b+2c-3}{2.8}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\)
dấu bằng xảy ra khi ...
cái thể loại đi bình luận chửi dạo mới gọi là vừa lắm mồm vừa xàm :)
ai cũng có quyền nói, nói đúng thì không ai bảo gì đâu, nhưng mà, dell liên quan gì cũng thể hiện thì làm gì hơn ai :)
Sử dụng AM-GM, ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức phụ sau:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
\(P=\sum\dfrac{a^4}{a^2b+2a^2c}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sum a^2b+2\sum a^2c}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}+\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}}\)\(\ge1\)
GTNN là 1 khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Áp dụng bđt cauchy-schwarz ta có
\(\dfrac{a+b}{ab+c^2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(ab+c^2\right)\left(a+b\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2b+ab^2+ac^2+bc^2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(ab^2+ac^2\right)+\left(a^2b+bc^2\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a\left(b^2+c^2\right)+b\left(a^2+c^2\right)}\le\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}\)Chứng minh tương tự:
\(\dfrac{b+c}{bc+a^2}\le\dfrac{c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{c\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}\)
Cộng vế theo vế của các bđt trên ta được
\(\dfrac{a+b}{ab+c^2}+\dfrac{b+c}{bc+a^2}+\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}=\dfrac{b^2+c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2+c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2+a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)Vậy \(\dfrac{a+b}{ab+c^2}+\dfrac{b+c}{bc+a^2}+\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
bái tran nguyen bao quan làm sư phụ bài khó như vậy mà làm nhanh v:
a=b+1; b=c+1, do c>0 =>b-1>0
\(2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=2\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{b+1}+\sqrt{b}}< \dfrac{2}{2\sqrt{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{b}}\)
\(2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)=2\dfrac{b-c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\dfrac{2}{\sqrt{b}+\sqrt{b-1}}< \dfrac{2}{2\sqrt{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{b}}\)
\(\Rightarrow2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{b}}< 2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\)
congratulations
ăn ở tốt sẽ thấy câu trả lời xứng đáng nhận 3GP của tớ
ai xem xong mà không thấy thì cho xem cái tay
BĐT đã cho được viết lại thành
\(\sum \frac{ab}{c^{2}+8ab}\leq \frac{1}{3}<=>\sum \frac{8ab}{c^{2}+8ab}\leq \frac{8}{3}<=>\sum \frac{c^{2}}{c^{2}+8ab}\geq \frac{1}{3}\)Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
\(\sum \frac{c^{2}}{c^{2}+8ab}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+8ab+8bc+8ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+6(ab+bc+ac)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+6.\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=\frac{1}{3}\)Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
#Genius_is_one_percent_inspiration_and_ninety-nine_percent_perspiration
→ Thiên tài chỉ có 1% là cảm hứng và 99% là mồ hôi
Arakawa Whiter :)) phải không Thơ
Giờ đọc lại đề mới thấy. E sửa đề của a hả. A bảo là k là số nguyên dương mà chứ có phải k là số tự nhiên đâu e :(
Không biết làm
\(P=\sum\dfrac{2a^3}{a+4b}+\sum\dfrac{3b^3}{a+4b}=2\sum\dfrac{a^4}{a^2+4ab}+3\sum\dfrac{b^4}{ba+4b^2}\)
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
\(P\ge2\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(ab+bc+ca\right)}+3\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(P\ge2\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}+3\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{5}+\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{5}\)
\(P\ge a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\ge6\)
GTNN của P là 6 khi \(a=b=c=\sqrt{2}\)
Keys:
_Dùng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel.
_Biến đổi tương đương
+ Coi a = b = c, khi đó
\(A=\dfrac{2a^3+3b^3}{a+4b}=\dfrac{5a^3}{5a}=a^2\)
Vậy ta cần c/m \(A\ge ab\) (a=b=c)
\(\Rightarrow\) \(2a^3+3b^3-ab\left(a+4b\right)\ge0\)
Giải:
Ta có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow2a^3+3b^3-a^2b-4ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^3+3a^2b-4a^2b-6ab^2+2ab^2+3b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a+3b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì a,b > 0 \(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng
\(\Rightarrow2a^3+3b^3\ge ab\left(a+4b\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{2a^3+3b^3}{a+4b}\ge ab\)
Tương tự, ta có : \(P\ge ab+bc+ca=6\)
Vậy \(Min_P\) = 6 \(\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{2}\)
Không thể coi a=b=c được, chứng minh bđt phải chứng minh đúng với mọi bộ số và chỉ ra dấu bằng tại đó.
Bạn ghi là \frac{2a^3+3b^3}{a+4b} \ge ab rồi tương đương chứng minh nó đúng, sau đó cộng lại nhé
Bài ghi thêm mấy dòng dầu => Sai
Nguyễn Thị Ngọc Thơ Okie em, post tiếp bài khó khó đi em
Biến đổi tương đương à:) Để em:)
Hướng suy nghĩ:
Để ý đẳng thức: \(\frac{2a^3+3b^3}{a+4b}=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2+\frac{\left(a-b\right)^2\left(3a+2b\right)}{2\left(a+4b\right)}\) và điểm rơi tại \(a=b=c=\sqrt{2}\rightarrow P=6\)
Ta sẽ chứng minh nó là GTNN tức là chứng minh \(P\ge6=ab+bc+ca\)
Giải
Từ hướng suy nghĩ bên trên:
\(P-\left(ab+bc+ca\right)=\left(\Sigma a^2-\Sigma_{cyc}ab\right)+\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2\left(3a+2b\right)}{2\left(a+4b\right)}\)\(=\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2\left(2a+3b\right)}{a+4b}\ge0\)
Vậy \(P\ge\left(ab+bc+ca\right)=6\). Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{2}\)
P/s: Chị tổ chức chuyên mục lại đi!
trời :v
Ấy là do idol mới nhìn qua đề thôi, chứ anh mà nghĩ chắc ra liền :>
Hãy đợi chiều này nhé
3 GP mà chả thấy ai trả lời :>
Đề có khó đâu nhỉ, câu trong đề thi huyện ý :>
Liana, Nguyễn Thị Ngọc Thơ chưa đọc đề mà. Cmt cho có phong trào ý mà
Trước lm rồi giờ quên sạch lun
Nhìn 3 câu tl, tưởng mn lm dc nhiều lắm. Ai dè...
Hung nguyen anh để yên đấy :v em thử coi làm đc hay không
Vậy 3GP đầu tiên là của anh rồi :>
cmt bên dưới thêm 2 cái nữa để tick nào vv:
Còn cách biến đổi tương đương nhé :>
P/s: Hướng làm ở trên rồi, nhanh tay lấy 2 GP còn lại nào :>
\(P\ge\Sigma\dfrac{\sqrt{2a^3.3b^3}}{\sqrt{4ab}}=\Sigma\sqrt{\dfrac{3}{2}}ab\ge\sqrt{\dfrac{3}{2}}.6=3\sqrt{6}\)
Có gì đó sai sai
Có mà m nhìn sai ý :>
\(ab=bc=ca\ge2\)
Mình làm bằng một cách nào đó ra \(3\sqrt{6}\)
Chế làm hay ha, sai ở đây nè:
\(a+4b\ge2\sqrt{4ab}\)
=> \(\dfrac{1}{a+4b}\le\dfrac{1}{2\sqrt{4ab}}\) rồi còn GTNN nỗi gì :>
Ờ ha, ty
Làm thế bán nhà như chơi ý:>
Chắc bài này hơi rắc rối nên ít mems thử, lát post dễ hơn vậy :>
Đề chắc khó ở cái hệ số 1, 2, 3, 4
Suy nghĩ rồi làm cách biến đổi tương đương mà các biến có giá trị bằng nhau đi :>
Thử là ra liền thôi, cách này so đơn giản :>
Nhưng so phức tạp :>
Just thinkingg v:
Nhân cái tích (a + 4b)(b + 4c)(c + 4a) ra là đã thấy mệt r, đúng không ta :>
=)) Nhân chắc lê lết luôn quá :))
Nguyễn Thị Ngọc Thơ nghe chưa :)