Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a>
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{100^2}\)=1/4+1/10000
ta có 1/4<1/2(vì 2 đề bài muốn chứng minh tổng đó nhỏ 1 thì chúng ta phải xét xem có bao nhiêu lũy thừa hoặc sht thì ta sẽ lấy 1 : cho số số hạng )
1/100^2<1/2
=>A<1
cho:
m = 1/2*3/4*5/6*....*99/100
n = 2/3*4/5*6/7*...*100/101
a, Chứng tỏ m<n
b,Tìm m*n
c, chứng tỏ m<1/10
$A=\dfrac12-\dfrac{2}{2^2}+\dfrac{3}{2^3}-\dfrac{4}{2^4}+\cdots+\dfrac{99}{2^{99}}-\dfrac{100}{2^{100}}$
Nhóm từng 2 số:
$A=\left(\dfrac12-\dfrac{2}{2^2}\right)+\left(\dfrac3{2^3}-\dfrac4{2^4}\right)+\cdots+\left(\dfrac{99}{2^{99}}-\dfrac{100}{2^{100}}\right)$
$=0+\dfrac18+\dfrac{2}{32}+\dfrac3{128}+\cdots+\dfrac{49}{2^{99}}$
$=\sum_{k=1}^{50}\dfrac{k-1}{2^{2k-1}}$
Ta có: $\dfrac{k-1}{2^{2k-1}}=\dfrac{2(k-1)}{4^k}$
Mà: $\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k-1}{4^k}=\dfrac{1}{9}$
Nên: $A<2\cdot\dfrac19$ $=\dfrac29$
Vậy: $A<\dfrac29$
b)$4=1\cdot4,\quad28=4\cdot7,\quad70=7\cdot10,\ldots$
tức là: $E=\dfrac3{1\cdot4}+\dfrac3{4\cdot7}+\dfrac3{7\cdot10}+\cdots+\dfrac3{n(n+3)}$
Với $n=1,4,7,\ldots$.
Ta có: $\dfrac3{n(n+3)}=\dfrac1n-\dfrac1{n+3}$
Do đó: $E=\left(1-\dfrac14\right)+\left(\dfrac14-\dfrac17\right)+\left(\dfrac17-\dfrac1{10}\right)+\cdots+\left(\dfrac1n-\dfrac1{n+3}\right)$
$=1-\dfrac1{n+3}$
Vì: $\dfrac1{n+3}>0$ nên: $1-\dfrac1{n+3}<1$