a) Với mọi n là số lẻ hoặc số chẵn thì \(A=\left(n+6\right)\left(n+7\right)\) luôn luôn là số chẵn . Do đó \(A⋮2\)với mọi \(n\in Z\)

b) \(B=n\left(n+1\right)+3\)

Vì \(n\left(n+1\right)\)là tích của hai số nguyên liên tiếp nên là số chẵn , do đó \(n\left(n+1\right)⋮2\), nhưng 3 không chia hết cho 2 

\(\Rightarrow\)B không chia hết cho 2 với mọi \(n\in Z\)

Nếu n là số chẵn thì (n + 6) chia hết cho 2 

=> (n + 6)(n + 7) chia hết cho 2 

Nếu n là số lẻ thì (n + 7) chia hết cho 2 

=> (n + 6)(n + 7) chia hết cho 2 

Vậy với mọi n nguye thì (n + 6)(n + 7) đều chia hết cho 2 

a. Giả sự n chia hết cho 2 => n+6 chia hết cho 2 => A chia hết cho 2

   Giả sư n ko chia hết cho 2 => n + 7 chia hết cho 2 => A chia hết cho 2

b. Giả sử n chia hết cho 2 => n^2 chia hết cho 2 => n^2 + n chia hết cho 2 => B ko chia hết cho 2

   Gia sử n ko chia hết cho 2 => n^2 ko chia hết cho 2. => n^2 + n chia hết cho 2 => B ko chia hết cho 2

với mọi số nguyên n thì (n+6).(n+7) luôn là tích 2 số nguyên liên tiếp mà trong 2 số nguyên liên tiếp luôn tồn tại 1 số chẵn nên suy ra tích 2 số nguyên đó luôn chia hết cho 2

 Vậy (n+6).(n+7) chia hết cho 2 với mọi n thuộc Z(đpcm)

Bài 1: Tìm các số tự nhiên $a$ và $b$ sao cho $a \cdot b = 105$ và $a < b$

Vì $a, b \in \mathbb{N}$ và $a \cdot b = 105$ nên $a$ và $b$ là các cặp ước của $105$.

Ta tìm tập hợp các ước của 105:

$\text{Ư}(105) = \{1; 3; 5; 7; 15; 21; 35; 105\}$

Vì $a \cdot b = 105$ và $a < b$ nên ta có các cặp $(a, b)$ thỏa mãn là:

- $a = 1 \Rightarrow b = 105$

- $a = 3 \Rightarrow b = 35$

- $a = 5 \Rightarrow b = 21$

- $a = 7 \Rightarrow b = 15$

Vậy các cặp số tự nhiên $(a, b)$ cần tìm là: $(1, 105); (3, 35); (5, 21); (7, 15)$.

Bài 2: Chứng tỏ rằng với mọi $n \in \mathbb{N}$ thì $(n+2017)(n+2018) \vdots 2$

Xét hai trường hợp của số tự nhiên $n$:

Trường hợp 1: $n$ là số chẵn ($n = 2k$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n + 2018 = 2k + 2018 = 2(k + 1009) \vdots 2$.

Suy ra tích $(n+2017)(n+2018) \vdots 2$.

Trường hợp 2: $n$ là số lẻ ($n = 2k + 1$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n + 2017 = 2k + 1 + 2017 = 2k + 2018 = 2(k + 1009) \vdots 2$.

Suy ra tích $(n+2017)(n+2018) \vdots 2$.

Vậy $(n+2017)(n+2018) \vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. (ĐPCM)

2,

+ n chẵn

=> n(n+5) chẵn 

=> n(n+5) chia hết cho 2

+ n lẻ

Mà 5 lẻ

=> n+5 chẵn => chia hết cho 2

=> n(n+5) chia hết cho 2

KL: n(n+5) chia hết cho 2 vơi mọi n thuộc N

3, 

A = n²+n+1 = n(n+1)+1

a, 

+ Nếu n chẵn

=> n(n+1) chẵn 

=> n(n+1) lẻ => ko chia hết cho 2

+ Nếu n lẻ

Mà 1 lẻ

=> n+1 chẵn

=> n(n+1) chẵn

=> n(n+1)+1 lẻ => ko chia hết cho 2

KL: A không chia hết cho 2 với mọi n thuộc N (Đpcm)

b, + Nếu n chia hết cho 5

=> n(n+1) chia hết cho 5

=> n(n+1)+1 chia 5 dư 1

+ Nếu n chia 5 dư 1

=> n+1 chia 5 dư 2

=> n(n+1) chia 5 dư 2

=> n(n+1)+1 chia 5 dư 3

+ Nếu n chia 5 dư 2

=> n+1 chia 5 dư 3

=> n(n+1) chia 5 dư 1

=> n(n+1)+1 chia 5 dư 2

+ Nếu n chia 5 dư 3

=> n+1 chia 5 dư 4

=> n(n+1) chia 5 dư 2

=> n(n+1)+1 chia 5 dư 3

+ Nếu n chia 5 dư 4

=> n+1 chia hết cho 5

=> n(n+1) chia hết cho 5

=> n(n+1)+1 chia 5 dư 1

KL: A không chia hết cho 5 với mọi n thuộc N (Đpcm)

a) ta có: (n+6)(n+7) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp => trong đó nhất định có một số chia hết cho 2 => tích sẽ luôn luôn chia hết cho 2

b) với n=2k ( n chẵn)  => n^2+n+3= 4k^2+2k+3

4k^2 chia hết cho 2k chia hết cho 2 nhưng +3 => k chia hết cho 2

với n=2k+1 ( n lẻ) =>  n^2+n+3=\(\left(2k+1\right)^2+2k+1+3=4k^2+6k+5\) giải thích như trên

=> k chia hết cho 2 với mọi n