Sai đề rùi 

abc-cba chia het cho 99 moi đúng

Ta có

100a+10b+c-100c+10b+a

=100a+c-100c+a

=99a-99c=99(a-c)

Chia hết cho 99 

Giả sử:

abc + ( 2a + 3b + c ) chia hết cho 7, ta có:

abc + ( 2a + 3b + c ) = a.100 + b.10 + c.1 + 2a + 3b + c = a.98 + 7.b

Vì a.98 chia hết cho 7 ( 98 chia hết cho 7 ), 7.b chia hết cho 7 => a.98 + 7.b chia hết cho 7.

=> abc + ( 2a + 3b + c ) chia hết cho 7.

Mà theo đề bài thì abc chia hết cho 7 => 2a + 3b + c chia hết cho 7.

ta có : abc=100a+10b+c

                =98a+2a+7b+3b+c

                =(98a+7b)+(2a+3b+c)

mà abc chia hết cho 7 suy rs (98a + 7b )+ (2a+3b+c)chia hết cho 7

mà 98a+7b chia hết cho 7

nên 2a+3b+c chia hết cho 7

Xét:

+) abc # ab => 10ab +c # ab => c # ab . Mà c < ab =>c=0

+) ab0 # a0 => 10a0+b0 # a0 => b0 # a0 => b # a (1)

+) ab0 # ba => 100a+b0 # ba => 99a+ba # ba => 99a # ba => 99 # ba => ba thuộc {11;33;99} (thỏa mãn(1))

Khi đó abc thỏa mãn tất cả các gt đầu bài (kiểm tra lại) (đpcm)

abcdeg=1000abc+deg

            =1001abc-(abc-deg)

Từ đây có:   1001abc chia hết cho 7   (Vì: 1001 chia hết cho 7 thì 1001 abc cũng chia hết cho 7).

                     abc-deg chia hết cho 7 (Đề bài cho)

=> 1001abc-(abc-deg) chia hết cho 7           (Do có cả 1001abc và abc-deg đều chia hết cho 7-> Hiệu cũng sẽ chia hết cho 7).

=> abcdeg chia hết cho 7.

* Điều phải chứng minh.

cho S = 1+3+3²+ 3^{3 +} 3⁴ + .......+ 3⁹⁹

Tổng S có tổng cộng 100 số hạng

S = 1+3+3²+ 3^{3 +} 3⁴ + .......+ 3⁹⁹ 

= (1+3) +(3²+ 3³) + (3⁴ +3⁵) .......(3⁸⁸+ 3⁹⁹ )  có 50 nhóm

= 4 + 3².(1+3)+3⁴(1+3)+........+3⁸⁸(1+3)

= 4+ 3².4+3⁴.4+........+3⁸⁸.4

= 4 (1+ 3²+3⁴+........+3⁸⁸) chia hết cho 4

b)

= (1+3 + 3²+ 3³) + (3⁴ +3⁵+3⁶+3⁷) .......(3⁸⁶+3⁸⁷+3⁸⁸+ 3⁹⁹ )  có 100:4 = 25 nhóm

=  (1+3 + 3²+ 3³) + 3⁴.(1+3 + 3²+ 3³) .......3⁸⁶.(1+3 + 3²+ 3³) 

=  40+ 3⁴.40 .......3⁸⁶.40

= 40 ( 1 +3⁴+ 3⁸+....+3⁸⁶) chia hết cho 40

= 4+ 3².4+3⁴.4+........+3⁸⁸.4

= 4 (1+ 3²+3⁴+........+3⁸⁸) chia hết cho 4