Câu hỏi của Quang Phúc

Question

Chứng tỏ phân số:

n³⁺+2n/n⁴⁺+ 3n²+1 tối giản với n thuộc Z

Nguyễn Thị Thương Hoài · Accepted Answer

Olm, chào em đây là toán nâng cao chuyên đề phân số, cấu trúc thi chuyên thi hsg. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp đánh giá như sau:

B = $\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}$ (n ∈ Z)

Gọi ƯCLN(n$^3$ + 2n; n$^4$ + 3n$^2$ + 1) ⋮ d (1) khi đó:

(n$^3$ + 2n) ⋮ d; và (n$^4$ + 3n$^2$ + 1) ⋮ d

[n.(n$^3$ + 2n)] ⋮ d và (n$^4$ + 3n$^2$ + 1) ⋮ d

[n$^4$ + 2n$^2$] ⋮ d và (n$^4$ + 3n$^2$ + 1) ⋮ d

[n$^4$ + 2n$^2$ - n$^4$ - 3n$^2$ - 1] ⋮ d

[(n$^4$ - n$^4$) - (3n$^2$ - 2n$^2$) - 1] ⋮ d

[0 - (n$^2$ - 1] ⋮ d

-(n$^2$ + 1) ⋮ d

(n$^2$ + 1) ⋮ d (2)

TH1: nếu n ⋮ d suy ra 1 ⋮ d

TH2 nếu n không chia hết cho d khi đó:

Theo (1) ta có: (n$^3$ + 2n) ⋮ d

n(n$^2$ + 2) ⋮ d mà n không chia hết cho d nên

(n$^2$ + 2) ⋮ d (3)

Theo (2) và (3) ta có: [n$^2$ + 2 - n$^2$ - 1] ⋮ d

[(n$^2$ - n$^2$) + (2 - 1)] ⋮ d

[0 + 1] ⋮ d

1 ⋮ d

d = 1

Từ những lập luận trên ta có d = 1 với ∀ n ∈ Z hay phân số đã cho là phân số tối giản.

Câu trả lời: