Olm, chào em đây là toán nâng cao chuyên đề phân số, cấu trúc thi chuyên thi hsg. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp đánh giá như sau:

B = \(\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) (n ∈ Z)

Gọi ƯCLN(n\(^3\) + 2n; n\(^4\) + 3n\(^2\) + 1) ⋮ d (1) khi đó:

(n\(^3\) + 2n) ⋮ d; và (n\(^4\) + 3n\(^2\) + 1) ⋮ d

[n.(n\(^3\) + 2n)] ⋮ d và (n\(^4\) + 3n\(^2\) + 1) ⋮ d

[n\(^4\) + 2n\(^2\)] ⋮ d và (n\(^4\) + 3n\(^2\) + 1) ⋮ d

[n\(^4\) + 2n\(^2\) - n\(^4\) - 3n\(^2\) - 1] ⋮ d

[(n\(^4\) - n\(^4\)) - (3n\(^2\) - 2n\(^2\)) - 1] ⋮ d

[0 - (n\(^2\) - 1] ⋮ d

-(n\(^2\) + 1) ⋮ d

(n\(^2\) + 1) ⋮ d (2)

TH1: nếu n ⋮ d suy ra 1 ⋮ d

TH2 nếu n không chia hết cho d khi đó:

Theo (1) ta có: (n\(^3\) + 2n) ⋮ d

n(n\(^2\) + 2) ⋮ d mà n không chia hết cho d nên

(n\(^2\) + 2) ⋮ d (3)

Theo (2) và (3) ta có: [n\(^2\) + 2 - n\(^2\) - 1] ⋮ d

[(n\(^2\) - n\(^2\)) + (2 - 1)] ⋮ d

[0 + 1] ⋮ d

1 ⋮ d

d = 1

Từ những lập luận trên ta có d = 1 với ∀ n ∈ Z hay phân số đã cho là phân số tối giản.

Câu a:

A = \(\frac{15n+1}{30n+1}\) (n ∈ Z)

Gọi ƯCLN(15n + 1; 30n + 1) = d

(15n + 1) ⋮ d và (30n + 1) ⋮ d

[2.(15n + 1)] ⋮ d và (30n + 1) ⋮ d

[30n + 2] ⋮ d và (30n + 1) ⋮ d

[30n + 2 - 30n - 1] ⋮ d

[(30n - 30n) + (2 - 1)] ⋮ d

[0 + 1] ⋮ d

1 ⋮ d suy ra d = 1

Vậy A là phân số tối giản (đpcm)

Câu b:Olm, chào em đây là toán nâng cao chuyên đề phân số, cấu trúc thi chuyên thi hsg. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp đánh giá như sau:

Câu b:

B = \(\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) (n ∈ Z)

Gọi ƯCLN(n\(^3\) + 2n; n\(^4\) + 3n\(^2\) + 1) ⋮ d (1) khi đó:

(n\(^3\) + 2n) ⋮ d; và (n\(^4\) + 3n\(^2\) + 1) ⋮ d

[n.(n\(^3\) + 2n)] ⋮ d và (n\(^4\) + 3n\(^2\) + 1) ⋮ d

[n\(^4\) + 2n\(^2\)] ⋮ d và (n\(^4\) + 3n\(^2\) + 1) ⋮ d

[n\(^4\) + 2n\(^2\) - n\(^4\) - 3n\(^2\) - 1] ⋮ d

[(n\(^4\) - n\(^4\)) - (3n\(^2\) - 2n\(^2\)) - 1] ⋮ d

[0 - (n\(^2\) - 1] ⋮ d

-(n\(^2\) + 1) ⋮ d

(n\(^2\) + 1) ⋮ d (2)

TH1: nếu n ⋮ d suy ra 1 ⋮ d

TH2 nếu n không chia hết cho d khi đó:

Theo (1) ta có: (n\(^3\) + 2n) ⋮ d

n(n\(^2\) + 2) ⋮ d mà n không chia hết cho d nên

(n\(^2\) + 2) ⋮ d (3)

Theo (2) và (3) ta có: [n\(^2\) + 2 - n\(^2\) - 1] ⋮ d

[(n\(^2\) - n\(^2\)) + (2 - 1)] ⋮ d

[0 + 1] ⋮ d

1 ⋮ d

d = 1

Từ những lập luận trên ta có d = 1 với ∀ n ∈ Z hay phân số đã cho là phân số tối giản.

Câu a:

A = \(\frac{4n+1}{6n+1}\) (n ∈ Z)

Gọi ƯCLN(4n + 1; 6n + 1) = d

(4n + 1) ⋮ d và (6n + 1) ⋮ d

[3.(4n + 1)] ⋮ d và [2.(6n + 1)] ⋮ d

[12n + 3] ⋮ d và [12n + 2] ⋮ d

[12n + 3 - 12n - 2] ⋮ d

[(12n - 12n) + (3 - 2)] ⋮ d

[0 + 1] ⋮ d

1 ⋮ d

d = 1

Phân số đã cho là phân số tối giản. (đpcm)

day la phan so co the rut gon duoc

\(\frac{15n+1}{30n+1}\)

Gọi ƯCLN ( 15n + 1 ; 30n + 1 ) = d

Ta có :

15n +  1 \(⋮\)d ; 30n + 1 \(⋮\)d

=> 2 ( 15n + 1 ) \(⋮\)d

=> 30n + 2 \(⋮\)d

=> ( 30n + 2 ) - ( 30n + 1 ) \(⋮\)d

=> 1 \(⋮\)d

=> d \(\in\){ 1 ; - 1 }

Vậy \(\frac{15n+1}{30n+1}\)là phân số tối giản