Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(b^2+c^2\ge2bc\)
\(c^2+a^2\ge ca\)
Cộng các vế => đpcm
b, Áp dung bdt a, ta có thể cm đc \(\left(x+y+z\right)^2\ge3xy+3yz+3zx\)
Thay x,y,z lần lượt bởi ab;bc;ca => ĐPCM
Nguyễn Xuân Đình Lực:
mình ghi rõ trên rùi, sắp xếp theo thứ tự luôn cho dễ nhìn kìa bạn:
Cặp 1: $a^3b$ và $abc^2$ tạo ra $a^2bc$
Cặp 2: $b^3c$ và $bca^2$ tạo ra $b^2ca$
Cặp 3: $c^3a$ và $cab^2$ tạo ra $c^2ab$
Lời giải:
Ba số thực $a,b,c$ cần có thêm điều kiện không âm mới đúng.
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$ab^3+bc^3+ca^3+2abc(a+b+c)\leq a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3+abc(a+b+c)$
$\Leftrightarrow abc(a+b+c)\leq a^3b+b^3c+c^3a(*)$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^3b+b^3c+c^3a)(abc^2+bca^2+cab^2)\geq (a^2bc+b^2ca+c^2ab)^2$
$\Rightarrow a^3b+b^3c+c^3a\geq abc(a+b+c)$
BĐT $(*)$ đúng nên ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
a,b,c>0
\(VP-VT=a^3b+b^3c+c^3a-abc\left(a+b+c\right)=abc\Sigma\frac{\left(a-b\right)^2}{a}\ge0\)
Uầy cái này là bổ đề huyền thoại của lớp 9 rồi :333333333
BĐT cần CM <=> \(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
<=> \(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+8abc\)
<=> \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Mà theo CAUCHY 2 số thì \(a+b\ge2\sqrt{ab};b+c\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ca}\)
Nhân lại => \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
=> Ta có điều phải chứng minh.
Áp dụng BĐT AM-GM với 3 số a, b, c ta luôn có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\), dấu bằng xảy ra khi a = b.
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\), dấu bằng xảy ra khi b = c.
\(a+c\ge2\sqrt{ac}\) , dấu bằng xảy ra khi a = c.
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{bc}.2\sqrt{ab}.2\sqrt{ac}=8abc\)
lại có \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le\left(\frac{1}{8}+1\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le\frac{9}{8}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c
Bất đẳng thức sau đây đúng với mọi a, b, c không âm:
\(\left(ab+bc+ca\right)\left[\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\right]\ge\frac{49}{18}+k\left(\frac{a}{b+c}-2\right)\)
với \(k=\frac{23}{25}\).
Note. \(k_{\text{max}}\approx\text{0.92102588865167}\) là nghiệm của phương trình bậc 5:
15116544*k^5+107495424*k^4-373143024*k^3+280903464*k^2+209797812*k-227353091 = 0
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3
Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có....
.
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3
Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có
sửa giả thiết là \(\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ca\right)^3=3\left(abc\right)^2\)
Và Áp dụng BĐT cô-si, ta có \(\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ca\right)^3\ge3\left(abc\right)^2\)
dấu = xảy ra <=>a=b=c>0
Thay vào thì \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\) (ĐPCM)
^_^
Ta có:
\(\frac{a\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}=\frac{a\left(b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(b^2+bc+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\ge\frac{4a\left(b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(b^2+bc+c^2+ab+bc+ca\right)^2}=\frac{4a\left(ab+bc+ca\right)}{\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)^2}\)
Tương tự ta được:
\(\frac{a\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}+\frac{c\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\)
\(\ge\frac{4a\left(ab+bc+ca\right)}{\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)^2}+\frac{4b\left(ab+bc+ca\right)}{\left(c+a\right)\left(a+b+c\right)^2}+\frac{4c\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)^2}\)
Vậy ta cần chứng minh:
\(\frac{4a\left(ab+bc+ca\right)}{\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)^2}+\frac{4b\left(ab+bc+ca\right)}{\left(c+a\right)\left(a+b+c\right)^2}+\frac{4c\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)^2}\ge2\)
Ta viết lại bất đẳng thức trên thành:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Đánh giá trên đúng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
Ta có (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc2) + (ca)2 + 2abc(a + b + c)
Lại có : x2 +y2 + z2 \(\ge\)xy + yz + xz
Thật vậy x2 +y2 + z2 \(\ge\)xy + yz + xz
<=> 2(x2 +y2 + z2) \(\ge\)2(xy + yz + xz)
<=> (x2 - 2xy + y2) + (y2 - 2yz + z2) + (z2 - 2zx + x2) \(\ge0\)
<=> (x - y)2 + (z - x)2 + (y - z)2 \(\ge0\) (đúng) => ĐPCM
Áp dụng bài toán => (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 \(\ge\)ab.bc + ac.bc + ab.ac = abc(a + b + c)
Khi đó (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc2) + (ca)2 + 2abc(a + b + c) \(\ge\)abc(a + b + c) + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) (đpcm)
Bạn vào thống kê hỏi đáp của mình xem nhé.
\(( a b + b c + a c ) ^2 ≥ 3 a b c ( a + b + c )\)
Biến đổi tương đương, ta được:
\(<=> ( a b ) ^2 + ( b c ) ^2 + ( a c ) ^2 + 2 a b . b c + 2 b c . a c + 2 a c . a b − 3 a b . a c − 3 a b . b c − 3 a c . b c ≥ 0\)
\(<=> ( a b ) ^2 + ( b c ) ^2 + ( a c ) ^2 − a b . a c − a b . b c − a c . b c ≥ 0\)
\(<=> \frac{1}{2} . [ ( a b ) 2 − 2 a b . b c + ( b c ) 2 ] + \frac{1}{2} . [ ( b c ) 2 − 2 b c . a c + ( a c ) 2 ] + \frac{1}{2} .[ ( a c ) ^2 − 2 a c . a b + ( a b ) ^2 ] ≥ 0\)
\(<=> 1 2 . ( a b − b c ) ^2 + 1 2 . ( b c − a c ) ^2 + 1 2 . ( a c − a b ) ^2 ≥ 0 \)(Luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi: \(a b = b c = a c\)
Ý tưởng của bài toán dựa trên bổ đề phụ:\(( x + y + z ) ^2 ≥ 3 ( x y + y z + x z )\)
Nếu bạn đặt \(a b = x , b c = y , a c = z\)cho bài toán thì sẽ đưa về bổ đề phụ trên
TK
Ta có \(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\left(ab^2c+a^2bc+abc^2\right)\)\(=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\)
Ta cần chứng minh BĐT \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)(*)
Thật vậy, BĐT này \(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a^2bc+ab^2c+abc^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-2ab.ac-2bc.ca-2ca.ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(ab\right)^2-2ab.bc+\left(bc\right)^2\right]+\left[\left(bc\right)^2-2bc.ca+\left(ca\right)^2\right]+\left[\left(ca\right)^2-2ca.ab+\left(ab\right)^2\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-bc\right)^2+\left(bc-ca\right)^2+\left(ca-ab\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy BĐT (*) đc chứng minh hay ta có \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge3abc\left(a+b+c\right)\)\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)