ta có \(2^n\equiv0\left(mod4\right)\)với \(\left(n\in N;n>1\right)\)

Đặt \(2^n=4k\left(k\in Z^+;k\ge1\right)\)

\(\Rightarrow2^{2^n}-1=2^{4k}-1=\left(2^k\right)^4-1\)

Theo định lý fermat nhỏ ta có :

\(\left(2^k\right)^4=\left(2^k\right)^{5-1}\equiv1\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow\left(2^k\right)^4-1\equiv0\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow Q.E.D\)

Ta có : \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ

\(\sqrt{3}\)là số vô tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}\)là số vô tỉ ( đpcm ) 

b) tương tự :

 \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2}vôti\\\sqrt{3}vôti\\\sqrt{5}vôti\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\)vô tỉ

c) \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ nên \(1+\sqrt{2}\)là số vô tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{1+\sqrt{2}}\)là số vô tỉ

d) \(\sqrt{3}\)là số vô tỉ\(\Rightarrow\frac{\sqrt{3}}{n}\)là số vô tỉ

\(\Rightarrow m+\frac{\sqrt{3}}{n}\)là số vô tỉ

Đặt: \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\)

=> \(\frac{m^2}{n^2}=2\)

=> \(m^2=2n^2\)

=> \(m^2\) chia hết cho \(2\). Mà 2 là số nguyên tố nên => \(m\) chia hét cho 2

Đặt: \(m=2k\)

=> \(\frac{m^2}{n^2}=\frac{4k^2}{n^2}=2\)

=> \(4k^2=2n^2\)

=> \(n^2=2k^2\)

=> \(n^2\) chia hết cho 2. Mà 2 là số nguyên tố nên n chia hết cho 2.

Ta có \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}=\frac{2a}{2b}\) không tối giản nên \(\sqrt{2}\) là số vo tỉ.

Các câu sau tương tự

Mình dùng phương pháp phản chứng hơi tắt một tí.

Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ thì sẽ có dạng \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) tối giản.

Mình chứng minh \(\frac{m}{n}\) không tối giản nên \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ

1) Vì mẫu của chúng không chứa ước nguyên tố khác 2 và 5:

3/8 có mẫu 8 = 2^3

-7/5 có mẫu 5 = 5

13/20 có mẫu 20 = 2^2 . 5

-13/125 có mẫu 125 = 5^3

Nên: các phân số trên viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

Ta có: 3/8 = 0,375

-7/5 = -1,4

13/20 = 0,65

-13/125 = -0,104

Nếu \(n^4\)và a đều là số chẵn, mỗi số khác 0 và 2 thì tổng \(n^4 +a\)là số chẵn không phải số nguyên tố.

Nếu  \(n^4\)và a đều là số lẻ khác 1 thì tổng \(n^4 +a\)là số chẵn không phải số nguyên tố.

Vậy: Có vô số số tự nhiên a sao cho \(n^4 +a\) không phải số nguyên tố

1/ Ta cần c/m \(3^{n+1}\left(3^2+1\right)+2^{n+2}\left(2+1\right)⋮6\)

Tức là \(3^{n+1}.10+2^{n+2}.3⋮6\) (1)

Ta có: 

Với n = 0 \(3^{n+1}.10+2^{n+2}.3=114⋮6\Rightarrow\)mệnh đề đúng với n = 0 (1)

Giả sử điều đó đúng với n = k.Tức là \(3^{k+1}.10+2^{k+2}.3⋮6\) (2)

Ta sẽ c/m nó đúng với n = k + 1. 

Thật vậy,ta cần c/m: \(3^{k+2}.10+2^{k+3}.3⋮6\)

\(\Leftrightarrow3^k.90+2^k.24⋮6\)

Điều này luôn đúng do \(90⋮6;24⋮6\rightarrow3^k.90⋮6;2^k.24⋮6\)

\(\Rightarrow3^k.90+2^k.24⋮6\) (3)

Từ (1);(2) và (3) ta được đpcm.

2.b)Gọi số học sinh của 3 lớp lần lượt là x,y,z > 0

Theo đề bài ra,ta có: \(\frac{2x}{3}=\frac{y}{1}=\frac{4z}{5}\) và \(\left(x+y\right)-z=57\)

Ta có: \(\frac{2x}{3}=\frac{y}{1}=\frac{4z}{5}\Leftrightarrow\frac{x}{\frac{3}{2}}=\frac{y}{1}=\frac{z}{\frac{5}{4}}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số "=" nhau,ta có:

\(\frac{x}{\frac{3}{2}}=\frac{y}{1}=\frac{z}{\frac{5}{4}}=\frac{\left(x+y\right)-z}{\left(\frac{3}{2}+1\right)-\frac{5}{4}}=\frac{57}{\frac{5}{4}}=\frac{228}{5}\)

Đến đây bạn tự suy ra,nếu ra số hữu tỉ thì làm tròn nha!