Gọi góc A' ; B' ; C' ; D' là góc ngoài của đỉnh A ; B ; C : D

Ta có A + A' =180 ( kề bù ) 

B + B' = 180 

C + C' = 180 

D + D' = 180 

Suy ra : A + A' + B + B' + C + C' + D + D' = 180 + 180 + 180 + 180 

360 + A' + B' + C' + D' = 720 ( tứ giác ABCD nên tổng 4 góc A ; B ; C ; D = 360 ) 

A' + B' + C' + D' = 360

Đặt \(a=\hat{A};b=\hat{B};c=\hat{C};d=\hat{D}\)

Ta có: \(\hat{A}:\hat{B}:\hat{C}:\hat{D}=1:2:3:4\)

=>a:b:c:d=1:2:3:4

=>\(\frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{3}=\frac{d}{4}\)

Xét tứ giác ABCD có \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360^0\)

=>a+b+c+d=360

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{3}=\frac{d}{4}=\frac{a+b+c+d}{1+2+3+4}=\frac{360}{10}=36\)

=>\(\begin{cases}a=36\cdot1=36\\ b=36\cdot2=72\\ c=36\cdot3=108\\ d=36\cdot4=144\end{cases}\)

=>\(\hat{A}=36^0;\hat{B}=72^0;\hat{C}=108^0;\hat{D}=144^0\)

Tổng các góc ngoài của tứ giác ABCD là:

\(180^0-\hat{BAD}+180^0-\hat{ABC}+180^0-\hat{BCD}+180^0-\hat{ADC}\)

\(=720^0-360^0=360^0\)

gọi các góc trong của đỉnh A và C là ^A₁ và ^C₁

còn các góc ngoài của đỉnh A và C là ^A₂ và ^C₂

ta có ^A1 + ^A2 =180^o ( 2 góc kè bù )

và ^C1 +^C2 =180^o (2 góc kề bù )

=> ^A2 =180^o -^A1

và ^C2 =180^o -^C2

=> ^A2+^C2 = 360^o -^A1-^C1(1)

ta lại có ^A1+^B+^C1+^D =360^o (tổng 4 góc tứ giác )

=> ^B+^D = 360^o - ^A1-^C1(2)

từ (1) và(2) => ^B+^D = ^A2 +^C2 (cùng = 360⁰ -^a1 -^C1)

vậy.............

* Gọi ∠ A 1 ,  ∠ C 1 là góc trong của tứ giác tại đỉnh A và C,  ∠ A 2 ,  ∠ C 2 là góc ngoài tại đỉnh A và C.

Ta có:  ∠ A 1 +  ∠ A 2  = 180 0  (2 góc kề bù)

⇒  ∠ A 2 =  180 0  -  ∠ A 1

∠ C 1 +  ∠ C 2 =  180 0  (2 góc kề bù) ⇒  ∠ C 2 =  180 0  -  ∠ C 1

Suy ra:  ∠ A 2 +  ∠ C 2 =  180 0  -  ∠ A 1 + 180o -  ∠ C 1 =  360 0  – ( ∠ A 1  +  ∠ C 1 ) (1)

* Trong tứ giác ABCD ta có:

∠ A 1 +  ∠ B +  ∠ C 1  + ∠ D =  360 0  (tổng các góc của tứ giác)

⇒  ∠ B +  ∠ D =  360 0  - ( ∠ A 1  +  ∠ C 1 ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  ∠ A 2 +  ∠ C 2  =  ∠ B +  ∠ D

#)Bạn tham khảo nhé :

Câu hỏi của pham ngoc huyen tram - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

P/s : Bạn vào thống kê hỏi đáp của mk nhé !