Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1,
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)
2a)với a,b,c là các số thực ta có
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)
tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)
tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)
cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
\(A=\frac{\frac{1}{2}a^2\left(\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}+1\right)\left[\left(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{c}\right)^2+\left(\sqrt[3]{b}-1\right)^2+\left(\sqrt[3]{c}-1\right)^2\right]}{2\left(a+2\right)\left(a+\sqrt[3]{bc}\right)}\ge0\)
\(\Sigma_{cyc}\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}=\Sigma_{cyc}A+\Sigma_{cyc}\frac{2\left(a-1\right)^2}{3\left(a+2\right)}+\frac{5}{6}\left(a+b+c\right)-1\ge\frac{5}{6}\left(a+b+c\right)-1=\frac{3}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\)\(\ge\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\)
Chứng minh rằng : \(\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow18\ge3\left(3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}\right)\)
\(\Leftrightarrow18\ge9+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}+3\sqrt[3]{ab}\)
\(\Leftrightarrow9\ge3\sqrt[3]{ab}+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+1\ge3\sqrt[3]{ab}\\b+c+1\ge3\sqrt[3]{bc}\\c+a+1\ge3\sqrt[3]{ca}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)+3\ge3\sqrt[3]{ab}+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}\)
\(\Rightarrow9\ge3\sqrt[3]{ab}+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}\left(đpcm\right)\)
Vì \(\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{3}{2}\)
Mà \(\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!
Ngọc có cách khác :
Trong mặt phẳng tọa độ , ta chọn các điểm \(A\left(a;0\right)\) , \(B\left(\frac{b}{2};\frac{b\sqrt{3}}{2}\right)\) ; \(C\left(-\frac{c}{2};\frac{c\sqrt{3}}{2}\right)\)
Khi đó : \(AB=\sqrt{\left(\frac{b}{2}-a\right)^2+\left(\frac{b\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2-ab+b^2}\)
\(BC=\sqrt{\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\right)^2+\left(\frac{c\sqrt{3}}{2}-\frac{b\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{b^2-bc+c^2}\)
\(AC=\sqrt{\left(-\frac{c}{2}-a\right)^2+\left(\frac{c\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2+ac+c^2}\)
Mà trong ba điểm thì ta luôn có : \(AB+BC\ge AC\)
Vậy \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\sqrt{a^2+ac+c^2}\)
Bình phương 2 vế rồi rút gọn ta được
\(2\sqrt{\left(a^2-ab+b^2\right)\left(b^2-bc+c^2\right)}\ge ab+bc-ac-2b^2\)
Tiếp tục bình phương 2 vế rồi rút gọn ta được
\(3a^2b^2+3b^2c^2+3a^2c^2-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+\left(ab-ac\right)^2+\left(ab-bc\right)^2+\left(bc--ac\right)^2\ge0\)
=> ĐPCM là đúng và đạt được khi a = b = c = 0
alibaba nguyễn Ở dòng \(2\sqrt{\left(a^2-ab+b^2\right)\left(b^2-bc+c^2\right)}\ge ab+bc-ac-2b^2\) , bạn chưa xét đến điều kiện liệu \(ab+bc-ac-2b^2\ge0\) hay \(ab+bc-ac-2b^2< 0\)
Có thể cách của bạn đúng, nhưng chưa thực sự chặt chẽ?
Bởi vì giải cho bạn nên mình mới bỏ qua mấy bước đấy bạn thấy đấy tại dòng đó nếu vế phải mà âm còn vế trái dương thì bất đẳng thức là đúng nên cái đó mình mới không ghi ra. Mình chỉ chứng minh cái ý 2 thôi là vế phải lớn hơn bằng 0 thôi
alibaba nguyễn Ồ, thế lần sau ghi rõ ra nhé ^^
Tùy người mà giải chớ. Ghi hết ra thì mệt chết :)
alibaba nguyễn Đề mình đăng hình như sai rồi , đúng phải là \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\sqrt{a^2+ac+c^2}\)
chết chết đề troll nhau thế này có mà t thành gấu trúc
mincopski
\(VT=\sqrt{\frac{3}{4}a^2+\left(\frac{a}{2}-b\right)^2}+\sqrt{\frac{3}{4}b^2+\left(b-\frac{c}{2}^2\right)}\)
\(\ge\sqrt{\left(\frac{a}{2}-b+b-\frac{c}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}a}{2}+\frac{\sqrt{3}c}{2}\right)^2}\)
\(=\sqrt{a^2+ac+c^2}=VP\)
Đổi đề hả. Đổi tiếp nữa ddeweeeeee
a) 9x2 - 36
=(3x)2-62
=(3x-6)(3x+6)
=4(x-3)(x+3)
b) 2x3y-4x2y2+2xy3
=2xy(x2-2xy+y2)
=2xy(x-y)2
c) ab - b2-a+b
=ab-a-b2+b
=(ab-a)-(b2-b)
=a(b-1)-b(b-1)
=(b-1)(a-b)
P/s đùng để ý đến câu trả lời của mình