a,  \(\frac{xy}{2y+4x}=\frac{yz}{4z+6y}=\frac{zx}{6x+2z}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2^2+4^2+6^2}\)          (2)

Xét \(x=0\Rightarrow y=z=0\Rightarrow2y+4z=0\)  (vô lí)

\(\Rightarrow x\ne0;y\ne0;z\ne0\)

Khi đó từ (2) \(\Rightarrow\frac{2y+4x}{xy}=\frac{4z+6y}{yz}=\frac{6x+2z}{zx}=\frac{2^2+4^2+6^2}{x^2+y^2+z^2}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{x}+\frac{4}{y}=\frac{4}{y}+\frac{6}{z}=\frac{6}{z}+\frac{2}{x}=\frac{2^2+4^2+6^2}{x^2+y^2+z^2}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{x}=\frac{4}{y}=\frac{6}{z}\) và \(\frac{2^2+4^2+6^2}{x^2+y^2+z^2}=2.\frac{2}{x}\)

Đặt \(\frac{2}{x}=\frac{4}{y}=\frac{6}{z}=\frac{1}{k}\left(k\ne0\right)\)thì \(\frac{2^2+4^2+6^2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{2}{k}\)

\(\Rightarrow x=2k;y=4k;z=6k\)và \(x^2+y^2+z^2=28k\)   (3)

\(thay\)  \(x=2k;y=4k;z=6k\)vào (3)  ta được :

\(\left(2k\right)^2+\left(4k\right)^2+\left(6k\right)^2=28k\)

\(56k^2-28k=0\)

\(56k.\left(2k-1\right)=0\)

\(\Rightarrow k=0\)(loại)

Hoặc \(k=\frac{1}{2}\)( thỏa mãn)

Với \(k=\frac{1}{2}\)thì tìm được \(x=1;y=2;z=3\)

Vậy \(x=1;y=2;z=3\)

Ta có :

\(|x-y|+|y-z|+|z-x|=2019\)

\(\Rightarrow|x-y|+\left(x-y\right)+|y-z|+\left(y-z\right)+|z-x|+\left(z-x\right)=2019\)

Nhận xét :

\(|a|+a=0\)với \(a\le0\)

\(|a|+a=2a\)với \(a\ge0\)

\(\Rightarrow|a|+a\)luôn chẵn với \(\forall a\)

\(\Rightarrow|x-y|+\left(x-y\right)+|y-z|+\left(y-z\right)+|z-x|+\left(z-x\right)\)luôn chẵn với \(\forall x,y,z\)

mà \(2019\)lẻ

\(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)

ơ lạ ~ vì x;y;z đều là số dương nên x²<x⁵;y³<y⁶;z⁴<z⁷ cộng lại x²+y³+z⁴<x⁵+y⁶+z⁷ chứ, sao lại cho cái vế phải nhỏ hơn vế trái vậy???

đề cho là số thực mà

c)

cảm ơn bạn

Từ điều kiện đề bài ta có:

\(x^2,y^2,z^2\le1\)

Trong 3 số x, y, z có 2 số cùng dấu: Giả sử là x,y (các trường hợp khác làm tương tự)

\(\Rightarrow xy\ge0\)

Ta có:

\(x^2+y^4+z^6\le x^2+y^2+z^2\le z^2+\left(x^2+2xy+y^2\right)=2z^2\le2\)

Dấu = xảy ra khi x = 0; y = 1; z = - 1.

Vì \(x+y+z=0.\)

\(\Rightarrow x+y=-z.\)

Ta có:

\(-1\le x\le1;-1\le y\le1;-1\le z\le1.\)

\(\Leftrightarrow x^2;y^2;z^2\le1\)

Trong 3 số x ; y ; z có ít nhất 2 số cùng dấu (giả sử là x ; y). Ta có:

\(xy\ge0\)

\(\Rightarrow2xy\ge0\)

Có:

\(x^2+y^4+z^6=x^2+y^2.y^2+z^2.z^2.z^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^4+z^6\le x^2+y^2+z^2\) (1).

Ta phải chứng minh \(x^2+y^2+z^2\le2.\)

Có:

\(x^2+y^2+z^2\le x^2+y^2+z^2+2xy.\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le\left(x+y\right).2+z^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le\left(-z\right).2+z^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le2z^2\le2\) (2).

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow x^2+y^4+z^6\le2\left(đpcm\right).\)

Chúc em học tốt!

Lời giải:

\(y^2=xz\Rightarrow \frac{y}{z}=\frac{x}{y}\)

\(z^2=yt\Rightarrow \frac{z}{t}=\frac{y}{z}\)

Vậy \(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{t}\)

Ta có:

\(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}\Rightarrow \frac{x^3}{y^3}=\frac{y^3}{z^3}=\frac{z^3}{t^3}=\frac{x^3+y^3+z^3}{y^3+z^3+t^3}(1)\) (áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

\(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}\Rightarrow \frac{x^3}{y^3}=\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{t}=\frac{x}{t}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{x^3+y^3+z^3}{y^3+z^3+t^3}=\frac{x}{t}\) (đpcm)

Từ điều kiện đề bài ta có:

\(x^2,y^2,z^2\le1\)

Trong 3 số x, y, z có 2 số cùng dấu: Giả sử là x,y (các trường hợp khác làm tương tự)

\(\Rightarrow xy\ge0\)

Ta có:

\(x^2+y^4+z^6\le x^2+y^2+z^2\le z^2+\left(x^2+2xy+y^2\right)=2z^2\le2\)

không biết liệu dấu đẳng thức có xẩy ra không nhỉ

a) Ta có: \(6x=4y=3z\Rightarrow\dfrac{6x}{12}=\dfrac{4y}{12}=\dfrac{3z}{12}\Rightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{2y}{6}=\dfrac{3z}{12}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{2y}{6}=\dfrac{3z}{12}=\dfrac{x+2y-3z}{2+6-12}=\dfrac{-2}{-4}=\dfrac{1}{2}.\)

Với: \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=1.\)

\(\dfrac{2y}{6}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{3}{2}.\)

\(\dfrac{3z}{12}=\dfrac{z}{4}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow z=\dfrac{1}{2}.4=\dfrac{4}{2}=2.\)

Vậy: \(x=1;y=\dfrac{3}{2};z=2.\)

giúp mk nha! thank you