\(cosA+cosB-cosC=2cos\frac{A+B}{2}.cos\frac{A-B}{2}+2sin^2\frac{C}{2}-1\)

\(=2sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+2sin^2\frac{C}{2}-1\)

\(=2sin\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}+sin\frac{C}{2}\right)-1\)

\(=2sin\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2}\right)-1\)

\(=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}-1\)

Lời giải:
\(\sin (a+b)=\sin (a+b+c-c)=\sin (a+b+c).\cos c-\cos (a+b+c)\sin c\)

\(\sin (a+c)=\sin (a+c+b-b)=\sin (a+b+c)\cos b-\cos (a+b+c)\sin b\)

Do đó:

\(\text{VT}=\sin (a+b+c)\cos b\cos c-\cos (a+b+c)\sin c\cos b-\sin (a+b+c)\cos b\cos c+\cos (a+b+c)\sin b\cos c\)

\(=\sin (a+b+c)(\cos b\cos c-\cos b\cos c)+\cos (a+b+c)(\sin b\cos c-\sin c\cos b)\)

\(=\cos (a+b+c)(\sin b\cos c-\cos b\sin c)=\cos (a+b+c)\sin (b-c)\)

\(=\text{VP}\)

Ta có đpcm.

\(sin^2A+sin^2B+cos^2C+\frac{1}{4}=2sinA.sinB+cosC\)

\(\Leftrightarrow sin^2A+sin^2B-2sinA.sinB+\frac{1}{4}\left(4cos^2C-4cosC+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(sinA-sinB\right)^2+\frac{1}{4}\left(2cosC-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}sinA-sinB=0\\2cosC-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=B\\cosC=\frac{1}{2}\Rightarrow C=60^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=B=C=60^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều

\(C=2sin3x.cos3x.\frac{cos3x}{sin3x}-\left(cos^23x-sin^23x\right)\)

\(=2cos^23x-cos^23x+sin^23x=cos^23x+sin^23x=1\)

\(\sqrt{2}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(sinx.cos\frac{\pi}{4}-cosx.sin\frac{\pi}{4}\right)\)

\(=\sqrt{2}\left(sinx.sin\frac{\pi}{4}-cosx.cos\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}\left(cosx.cos\frac{\pi}{4}-sinx.sin\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)

Câu này bạn ghi nhầm đề (lưu ý rằng \(sin\frac{\pi}{4}=cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\))

Câu 2b bạn cũng xem lại đề, chắc chắn ko đúng

\(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=90^0\Rightarrow sin\frac{A}{2}=cos\left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right)=cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}-sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\)

Câu 3 bạn cũng ghi sai đề luôn

Trong 1 ngày đẹp trời thì câu 4 cũng sai luôn cho đỡ lạc lõng đồng đội:

\(sin\left(a+b-b\right)=sin\left(a+b\right)cosb-cos\left(a+b\right)sinb=2sin\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow sin\left(a+b\right)\left[cosb-2\right]=cos\left(a+b\right).sinb\)

\(\Leftrightarrow\frac{sin\left(a+b\right)}{cos\left(a+b\right)}=\frac{sinb}{cosb-2}\Leftrightarrow tan\left(a+b\right)=\frac{sinb}{cosb-2}\)

4 câu bạn ghi đúng đề bài duy nhất câu 1, kinh thiệt :(