Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Ta có: \(S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A\)
=>\(S^2 = \frac{1}{4} AB^2 \cdot AC^2 \cdot \sin^2 A\)
\(=\frac{1}{4}AB^2\cdot AC^2(1-\cos^2A)=\frac{1}{2^2}\left[AB^2\cdot AC^2-(AB\cdot AC\cdot\cos A)^2\right]\)
=>\(S^2 = \frac{1}{4} \left[ AB^2 \cdot AC^2 - \left(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\right)^2 \right]\)
=>\(S=\frac12\cdot\sqrt{AB^2\cdot AC^2-\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\right)^2}\)
b:Ta có: \(S = \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} b \cdot h_b = \frac{1}{2} c \cdot h_c\)
=>\(a = \frac{2S}{h_a}, \quad b = \frac{2S}{h_b}, \quad c = \frac{2S}{h_c}\)
b+c=2a
=>\(\frac{2S}{h_b}+\frac{2S}{h_c}=2\cdot\left(\frac{2S}{h_a}\right)\)
=>\(\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{2}{h_a}\)
c: Xét ΔABC có \(m_{a};m_{b};m_{c}\) lần lượt là độ dài ba đường trung tuyến ứng với các cạnh BC,AC,AB
nên ta có:
\(m_{a}^2=\frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4};m_{b}^2=\frac{2(a^2 + c^2) - b^2}{4};m_{c}^2=\frac{2(a^2 + b^2) - c^2}{4}\)
\(m_b^2 + m_c^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2 + 2a^2 + 2b^2 - c^2}{4} = \frac{4a^2 + b^2 + c^2}{4}\)
Ta có: \(m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2\)
=>\(\frac{4a^2 + b^2 + c^2}{4}=5\cdot\frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4}\)
=>\(4a^2+b^2+c^2=10(b^2+c^2)-5a^2\)
=>\(4a^2+5a^2=10(b^2+c^2)-(b^2+c^2)\)
=>\(9a^2=9(b^2+c^2)\)
=>\(a^2=b^2+c^2\)
=>ΔABC vuông tại A
Ta có : \(\dfrac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^2\overrightarrow{AC}^2-\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{2}.\sqrt{AB^2AC^2-\left(AB.AC.CosBAC\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{2}.\sqrt{AB^2AC^2-AB^2.AC^2.Cos^2BAC}\)
\(=\dfrac{1}{2}\sqrt{AB^2AC^2\left(1-Cos^2BAC\right)}\)
Thấy : \(Sin^2a+Cos^2a=1\)
\(\Rightarrow Sin^2a=1-Cos^2a\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\sqrt{AB^2AC^2Sin^2BAC}=\dfrac{1}{2}\left|AB.AC.SinBAC\right|=\dfrac{1}{2}AB.AC.SinBAC=S\)
=> ĐPCM
Sao đề là lạ đoạn kia là \(\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)^2\)à
Vì AH=(BC.1/2)tan60 ct lương giác
=BC.tan60.1/2=\(\sqrt{3}\)/2
họk tốt!
Đặt \(A = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}} \)
\(= \dfrac{1}{2}\sqrt { A{B^2}.A{C^2}- {{\left(|{\overrightarrow {AB}| .|\overrightarrow {AC}|. \cos BAC} \right)}^2}} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2} - {{\left( {AB.AC.\cos A} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2} - A{B^2}.A{C^2}.{{\cos }^2}A }\\ \Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2}\left( {1 - {{\cos }^2}A} \right)} \end{array}\)
Mà \(1 - {\cos ^2}A = {\sin ^2}A\)
\( \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2}.{{\sin }^2}A} \)
\( \Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin A\) (Vì \({0^o} < \widehat A < {180^o}\) nên \(\sin A > 0\))
Do đó \(A = {S_{ABC}}\) hay \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}} .\) (đpcm)