- Nếu n là số chẵn thì n.(n + 2017) chia hết cho 2 => n.(n + 2017) là số chẵn.

- Nếu n là số lẻ thì n + 2017 là số chẵn => n.(n + 2017) chia hết cho 2 => n.(n + 2017) là số chẵn.

Vậy n.(n + 2017) là số chẵn với mọi số tự nhiên n.

Xét 2 trường hợp:

Nếu n lẻ thì n + 2017 sẽ là một số chẵn

Mà lẻ nhân chẵn sẽ cho 1 số chẵn nên n.(n+2017) chẵn

Nếu n chẵn thì n + 2017 sẽ là một số lẻ

Mà chẵn nhân lẻ sẽ cho 2 số chẵn nên n.(n + 2017 ) chẵn

Vậy với mọi số tự nhiên n thì n.(n+2017) chẵn

Nhớ k cho mình nhé! Thank you!!!

n luôn chia hết cho 2

vì n + 3 x n + 12 luôn là số chẵn

a, M = a.(a + 2) - a(a-5) - 7

= a(a + 2 - a + 5) - 7

= a.7 - 7

= 7(a - 1) là bội của 7.

b, + Nếu a là số chẵn => a - 2 và a + 2 là số chẵn

=> (a - 2)(a + 3) và (a - 3)(a + 2) là số chẵn

=> (a - 2)(a + 3) - (a - 3)(a + 2) là số chẵn  (1)

+ Nếu a là số lẻ => a + 3 và a - 3 là số chẵn

=> (a - 2)(a + 3) và (a - 3)(a + 2) là số chẵn

=> (a - 2)(a + 3) - (a - 3)(a + 2)là số chẵn  (2)

Từ (1) và (2) => (a - 2)(a + 3) - (a - 3)(a + 2) luôn chẵn

cảm ơn nha 

Để phân số n+1/2n+3 là phân số tối giản thì (n+1; 2n+3) =1

Gọi (n+1; 2n+3) =d => n+1 \(⋮\)d; 2n+3 \(⋮\)d

=> (2n+3) - (n+1) \(⋮\)d

=> (2n+3) -2(n+1) \(⋮\)d

=> 2n+3 -2n -2 \(⋮\)d

=> 1 \(⋮\)d

=> n+1/2n+3 là phân số tối giản

Vậy...

Gọi d là ƯC(n+1 ; 2n + 3)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)

=> ( 2n + 3 ) - ( 2n + 2 ) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> ƯCLN(n +1 ; 2n + 3) = 1

=> \(\frac{n+1}{2n+3}\)tối giản ( đpcm )

Đặt \(A=\frac{1}{2\cdot5}+\frac{1}{5\cdot8}+...+\frac{1}{\left(3n-1\right)\left(3n+2\right)}\)

\(3A=\frac{3}{2\cdot5}+\frac{3}{5\cdot8}+...+\frac{3}{\left(3n-1\right)\left(3n+2\right)}\)

\(3A=\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+...+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\)

\(3A=\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}\)

\(3A=\frac{3n+2-2}{2\left(3n+2\right)}\)

\(A=\frac{3n}{2\left(3n+2\right)}\cdot\frac{1}{3}\)

\(A=\frac{n}{2\left(3n+2\right)}\left(đpcm\right)\)

Xét vế trái, ta có :

   \(\frac{1}{2.5}+\frac{1}{5.8}+......+\frac{1}{\left(3n-1\right)\left(3n+2\right)}\)

   \(=\frac{1}{3}\left[\frac{3}{2.5}+\frac{3}{5.8}+.....+\frac{3}{\left(3n-1\right)\left(3n+2\right)}\right]\)

    \(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+....+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n-2}\right)\)

    \(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}\right)=\frac{1}{3}.\frac{3n}{2\left(3n+2\right)}=\frac{n}{2\left(3n+2\right)}\)

Vế trái đúng bằng vế phải. Đẳng thức đã được chứng tỏ là đúng

  + Xét TH1: n chẵn

Suy ra n chia hết 2, do đó n(n + 5) cũng chia hết cho 2.

   + Xét TH2: n lẻ

Suy ra n + 5 chẵn

Do đó (n + 5) chia hết 2

Vậy n(n +5) chia hết cho 2.

TA CÓ

+ Nếu n chia hết cho 2 thì nx(n+5) chia hết cho 2 thì bài toán đã được chứng minh

+Nếu n ko chia hết cho 2 thì n = 2k+1 suy ra n+5 =2k+5+1=2k+6

mà 2k chia hết cho 2 và 6 chia hết cho 2 nên n+5 chia hết cho 2

suy ra n(n+5) chia hết cho 2

Vậy n(n+5) luôn chia hết cho 2 (đpcm)

Nếu n = 2k => n chia hết cho 2

=> n(n + 5) chia hết cho 2

Nếu n = 2k + 1 => n + 5 = 2k + 1 + 5 = 2k + 6 chia hết cho 2

=> n + 5 chia hết cho 2

=> n(n + 5) chia hết cho 2

Vậy với mọi số tự nhiên n thì tích n(n + 5) chia hết cho 2.