Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Quá dài dòng ~.~
Có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^4}{a^3b}+\frac{b^4}{b^3c}+\frac{c^4}{c^3a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3b+b^3c+c^3a}=\frac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{9\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)}\)
Cần CM Bđt:
\(\left(a+b+c\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\)
hay: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+2\left(ab+bc+ac\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\)
Sử dụng Bđt phụ: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\)
Thu gọn bất đẳng thức cần CM còn: \(\left(ab+bc+ac\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\)
Cm tương đương là xong.
Như vậy: \(VT\ge\frac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{9\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)}\ge\frac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=VP\)
End./.
a ) \(A=\frac{ax^2\left(a-x\right)-a^2x\left(x-a\right)}{3a^2-3x^2}=\frac{ax\left(a-x\right)\left(a+x\right)}{3\left(a-x\right)\left(a+x\right)}=\frac{ax}{3}\)
Thay \(a=\frac{1}{2};x=-3\), ta có :
\(A=\frac{\frac{1}{2}.-3}{3}=-\frac{1}{2}\)
b ) \(B=\frac{\left(ab+bc+cd+da\right)abcd}{\left(c+d\right)\left(a+b\right)+\left(b-c\right)\left(a-d\right)}=\frac{\left[\left(ab+ad\right)+\left(bc+cd\right)\right]abcd}{ca+cb+da+db+ba-bd-ca+cd}\)
\(=\frac{\left[a\left(b+d\right)+c\left(b+d\right)\right]abcd}{ba+da+cb+cd}=\frac{\left(b+d\right)\left(a+c\right)abcd}{\left(b+d\right)\left(a+c\right)}=abcd\)
Thay \(a=-3;b=-4;c=2;d=3\), ta có :
\(B=\left(-3\right).\left(-4\right).2.3=72\)
Bài 2:
a) \(\left|x+1\right|+\left|x+2\right|+\left|x+4\right|+\left|x+5\right|-6x=0\)
\(\Rightarrow\left|x+1\right|+\left|x+2\right|+\left|x+4\right|+\left|x+5\right|=6x\)
Ta có: \(\left|x+1\right|\ge0;\left|x+2\right|\ge0;\left|x+4\right|\ge0;\left|x+5\right|\ge0\)
\(\Rightarrow\left|x+1\right|+\left|x+2\right|+\left|x+4\right|+\left|x+5\right|\ge0\)
\(\Rightarrow6x\ge0\)
\(\Rightarrow x\ge0\)
\(\Rightarrow\left|x+1\right|+\left|x+2\right|+\left|x+4\right|+\left|x+5\right|=x+1+x+2+x+4+x+5=6x\)
\(\Rightarrow4x+12=6x\)
\(\Rightarrow2x=12\)
\(\Rightarrow x=6\)
Vậy x = 6
b) Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-3}{4}=\frac{2y-6}{6}=\frac{3z-9}{12}=\frac{x-2-2y+6+3z-9}{2-6+12}=\frac{\left(x-2y+3z\right)-\left(2-6+9\right)}{8}\)
\(=\frac{14-5}{8}=\frac{9}{8}\)
+) \(\frac{x-2}{2}=\frac{9}{8}\Rightarrow x-2=\frac{9}{4}\Rightarrow x=\frac{17}{4}\)
+) \(\frac{y-3}{3}=\frac{9}{8}\Rightarrow y-3=\frac{27}{8}\Rightarrow y=\frac{51}{8}\)
+) \(\frac{z-3}{4}=\frac{9}{8}\Rightarrow z-3=\frac{9}{2}\Rightarrow z=\frac{15}{2}\)
Vậy ...
c) \(5^x+5^{x+1}+5^{x+2}=3875\)
\(\Rightarrow5^x+5^x.5+5^x.5^2=3875\)
\(\Rightarrow5^x.\left(1+5+5^2\right)=3875\)
\(\Rightarrow5^x.31=3875\)
\(\Rightarrow5^x=125\)
\(\Rightarrow5^x=5^3\)
\(\Rightarrow x=3\)
Vậy x = 3
a, Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\left(k\ne0\right)\Rightarrow a=kb;c=kd\)
Thay:
\(\frac{ab}{cd}=\frac{b^2}{d^2}\)
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}=\frac{b^2\left(k+1\right)^2}{d^2\left(k+1\right)^2}=\frac{b^2}{d^2}\)
=> đpcm
P/s: Bài toán này khá hay đó !!
Ta có : \(a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)=c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2c+a^2b}{abc}=\frac{b^2c+ab^2}{abc}=\frac{c^2b+c^2a}{abc}\)
Mà : \(a,b,c>0\)
\(\Rightarrow a^2c+a^2b=b^2c+ab^2=c^2b+c^2a\)
+) Xét : \(a^2c+a^2b=b^2c+ab^2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)+c\left(a^2-b^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(ab+ca+cb\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a-b=0\Leftrightarrow a=b\) (1)
( Do \(a,b,c>0\Rightarrow ab+ca+cb>0\) )
+) Xét \(b^2c+ab^2=c^2b+c^2a\)
\(\Leftrightarrow bc\left(b-c\right)+a\left(b^2-c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-c\right)\left(bc+ab+ac\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b-c=0\Leftrightarrow b=c\)(2)
( Do \(a,b,c>0\Rightarrow ab+ca+cb>0\) )
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a=b=c\) (đpcm)
Í em mới lớp 7 thôi hả
Vậy mà giỏi đến mức được làm công tác viên òi
Tức là chị là chị của công tác viên hí hí
~ lớp 8 ~
Lớp 7 nhưng chịu quá nhiều tai tiếng ạ,vs như lúc đó ko thuộc hằng đẳng thức bình phương của một tổng,làm xàm thế là...
What !!! Lớp 7 chi học hằng đẳng thức !!!
Tai chị có thể nghe nhầm nhưng mắt chị thì đọc ik đọc lại sao nhầm đây???
Rõ là lớp 8 ( bọn chị ) mới học mừ
bởi vậy ms nói,chưa học (nhưng giờ em tự đọc thuộc r) mà ai đó... cứ thích lôi ra để nói xấu...À mà thôi ib riêng đi ạ,đừng spam ở đây nx!
Cách trên sai rồi
Đoạn chuẩn hóa
Đoạn cuối nữa \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge-\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{3}{4}.3\) đến đây vì \(x+y+z\ge6\)thì \(-\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)\le-\frac{3}{2}\)Bất đẳng thức bị đảo chiều
Thâm thế ? Iran TST 1996
P/S; cố tìm lời giải của thầy Võ Quốc Bá Cẩn nha , lời giải của thầy dễ hiểu hơn nhiều
https://diendantoanhoc.net/topic/78902-bdt-iran-96-frac1ab2frac1bc2frac1ca2geq-frac94abbcca/ vô đây dễ hơn này
lớp 7 đâu học dạng này
óc chó dễ vcl
tống đức mạnh Anh bạn này lớp mấy mà giỏi thế nhỉ? Nếu bạn nói thế,xin bạn giải ra,dùng cách diễn đạt của lớp 7 ạ.
Biến đổi tương đương thành biểu thức:
\(\frac{\text{Σ}c\left[\left(8a+8b+7c\right)\left(a+b-c\right)^2+ab\left(a+b+7c\right)\right]\left(a-b\right)^2}{8\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}\)
P/S: mik đã thử
đấm chết mẹ thằng nguyễn khang bây giờ co n chó sủa vừa vừa thôi
Ta có: \(\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(a+c\right)^2}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ac\right)}\)
mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
=> \(\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(a+c\right)^2}\ge\frac{9}{4\left(ab+bc+ac\right)}\)
=> \(\left(ab+bc+ac\right)\left(\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(a+c\right)^2}\right)\ge\frac{9}{4}\left(đpcm\right)\)
Đừng giả bộ lớp 7 nữa
trần gia bảo \(\frac{9}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ac\right)}\le\frac{9}{4\left(ab+ac+bc\right)}\) nha, giải sai rồi
câu này của học sinh giỏi lớp 7 phải ko bạn?
địt nhau vở mồm
tớ xin chịu
Tớ là gái đang học lớp 6
ta có
a,b,c>0
=> ab+bc+ac\(\ge\)3
=> \(\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\)+ \(\frac{1}{\left(b+c\right)^2}\)+\(\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\)\(\ge\)\(\frac{3}{4}\)
=>(ab+bc+ca)\(\left(\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\right)\)\(\ge\)3.\(\frac{3}{4}\)=\(\frac{9}{4}\) Điều phải cm
đó là cách lớp 7
ko cần hằng đẳng thức nhé
em cũng mới lớp 7 thui
Xin nói một câu ngoài lề, cho dù lớp 7 chưa học hằng đẳng thức nhưng vẫn có khả năng khai triển bằng cách nhân đa thức với đa thức nhé
?ld probl3m
\(\left(a+b+c;ab+bc+ca;abc\right)\rightarrow\left(3u;3v^2;w^3\right)\)
\(BDT\Leftrightarrow36v^2\left(27u^4-18u^2v^2+4uw^3+3v^4\right)\ge9\left(9uv^2-w^3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow f\left(w^3\right)=972u^4v^2-1377u^2v^4+306uv^2w^3+108v^6-9w^6\ge0\)
ta co \(\Leftrightarrow f'\left(w^3\right)=18\left(17uv^2-3w^3\right)>54\left(uv^2-w^3\right)\ge0\)
->f(w^3) la ham dong bien tu do ta co the tim dc gtnn cua w^3. xay ra khi 2 bien bang nhau .Gs \(a=b\)
khi do bdt can cm tuong duong \(\Leftrightarrow c(a-c)^2\ge0\)
mới học lớp 5 thui ko hiểu
Mik xin giải theo pp SOS bài TST Iran này nhá :D
Đặt biến: \(\hept{\begin{cases}x=a+b\\y=b+c\\z=a+c\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)^2=x^2\\\left(b+c\right)^2=y^2\\\left(a+c\right)^2=z^2\end{cases}}\&4\left(ab+bc+ac\right)=\left(2xy+2xz+2yz-x^2-y^2-z^2\right)\)
Bđt thành: \(\left(2xy+2yz+2xz-x^2-y^2-z^2\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge9\)
Biến đổi Bđt có dạng: \(\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)
Tới đây: Bđt có dạng: \(S_a\left(b-c\right)^2+S_b\left(a-c\right)^2+S_c\left(a-b\right)^2\ge0\)
Với: \(\hept{\begin{cases}S_a=\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}\\S_b=\frac{2}{yz}-\frac{1}{x^2}\\S_c=\frac{2}{xz}-\frac{1}{y^2}\end{cases}}\)
Tiếp giải theo tiêu chuẩn 4:
Giả sừ: \(x\ge y\ge z\)
Như vậy chắc chắn: \(S_a\ge0\)
Xét tiếp: \(x^2S_b+y^2S_c\ge0\)là xong
Vậy Bđt đúng khi a=b=c hay a=b; c=0 và các hoán vị chứ k phải là a,b,c>0
Với lại bn nên xem lời giải của thầy Võ Quốc Bá Cẩn nhỉ
Sao em đổi biến lại ra kết quả khác anh thắng nhỉ?
<=>\(4v^2\left(\left(3v^2+a^2\right)^2+\left(3v^2+b^2\right)^2+\left(3b^2+c^2\right)^2\right)\ge9\left(9uv^2-w^3\right)^2\)
<=>\(4v^2\left(27v^4+\left(a^4+b^4+c^4\right)+6v^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\right)\ge9\left(9uv^2-w^3\right)^2\)
<=>\(4v^2\left(27v^4+81u^4-108u^2v^2+18v^4+12vw^3+6v^2\left(9u^2-6v^2\right)\right)\ge9\left(9uv^2-w^3\right)^2\)
<=>\(324u^4v^2-216u^2v^4-81uv^2+36v^6+48v^3w^3+9w^3\ge0\)