Trong một tam giác thì tổng các góc là 180^{0 :}

+ + = 180^{0 => = -1800 - ( + )}

và ( + ) là 2 góc bù nhau, do đó:

a) sinA = sin[180⁰ - ( + )] = sin (B + C)

b) cosA = cos[180⁰ - ( + )] = -cos (B + C)

a) Sin (B+C) = Sin (180-A) = Sin A
b) Cos (A+B) = Cos ( 180-A) = Cos A
c) Sin (\(\dfrac{B+C}{2}\)) = Sin \(\left(\dfrac{180-A}{2}\right)\)= Sin \(\left(90^0-\dfrac{A}{2}\right)\)= Cos \(\dfrac{A}{2}\)

d) Tan \(\left(\dfrac{A+C}{2}\right)\)= Tan\(\left(\dfrac{180-B}{2}\right)\)=Tan\(\left(90^0-\dfrac{B}{2}\right)\)= Cot \(\dfrac{B}{2}\)

\(sinA+sinB-sinC=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}-sinC\)

\(=2cos\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}-2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}\)

\(=2cos\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}-sin\frac{C}{2}\right)\)

\(=2cos\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}-cos\frac{A+B}{2}\right)\)

\(=4cos\frac{C}{2}sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}\)

\(A+B+C=180^0\Rightarrow\frac{A+B}{2}+\frac{C}{2}=90^0\)

\(\Rightarrow sin\left(\frac{A+B}{2}\right)=cos\left(90^0-\frac{A+B}{2}\right)=cos\frac{C}{2}\)

\(cos\left(A+B\right)=-cos\left(180^0-\left(A+B\right)\right)=-cosC\)

\(cos\left(\frac{A+B}{2}\right)=sin\left(90-\frac{A+B}{2}\right)=sin\frac{C}{2}\)

\(sinA=sin\left(180^0-A\right)=sin\left(B+C\right)\)

\(sin\left(A+B\right)=sin\left(180^0-\left(A+B\right)\right)=sinC\)

\(cosA=-cos\left(180^0-A\right)=-cos\left(B+C\right)\)

\(C=2sin3x.cos3x.\frac{cos3x}{sin3x}-\left(cos^23x-sin^23x\right)\)

\(=2cos^23x-cos^23x+sin^23x=cos^23x+sin^23x=1\)

\(\sqrt{2}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(sinx.cos\frac{\pi}{4}-cosx.sin\frac{\pi}{4}\right)\)

\(=\sqrt{2}\left(sinx.sin\frac{\pi}{4}-cosx.cos\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}\left(cosx.cos\frac{\pi}{4}-sinx.sin\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)

Câu này bạn ghi nhầm đề (lưu ý rằng \(sin\frac{\pi}{4}=cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\))

Câu 2b bạn cũng xem lại đề, chắc chắn ko đúng

\(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=90^0\Rightarrow sin\frac{A}{2}=cos\left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right)=cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}-sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\)

Câu 3 bạn cũng ghi sai đề luôn

Trong 1 ngày đẹp trời thì câu 4 cũng sai luôn cho đỡ lạc lõng đồng đội:

\(sin\left(a+b-b\right)=sin\left(a+b\right)cosb-cos\left(a+b\right)sinb=2sin\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow sin\left(a+b\right)\left[cosb-2\right]=cos\left(a+b\right).sinb\)

\(\Leftrightarrow\frac{sin\left(a+b\right)}{cos\left(a+b\right)}=\frac{sinb}{cosb-2}\Leftrightarrow tan\left(a+b\right)=\frac{sinb}{cosb-2}\)

4 câu bạn ghi đúng đề bài duy nhất câu 1, kinh thiệt :(