Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi tứ giác đó và nhỏ hơn chu vi tứ giác đó: 
*Theo câu 1 thì AC<p và BD < p => AC + BD < 2p tổng 2 đường chéo nhỏ hơn chu vi (đpcm) 
* giao của AC và BD là O. 
trong tam giác OAB có OB + OA > AB , trong tam giác OBC có OB + OC > BC 
trong tam giác OADcó OD + OA > AD , trong tam giác ODC có OD + OC > DC 
cổng 4 bất đẳng thức cùng chiề này lại ta có: 
2.OB + 2.OD + 2.OA + 2.OC > AB + BC + CD + DA 
<=> 2 BD + 2 AC > 2p <=> BD + AC > p tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi (đpcm) 

Vẽ tứ giác lồi ABCD

+Xét t/g AOB có OA+OB>AB (trong tam giác tổng chiều dài 2 cạnh lớn hơn chiều dài cạnh còn lại) (1)

+ Tương tự ta cũng có OB+OC>BC (2)

+ OC+D>CD (3)

+ OD+OA>AD (4)

Cộng 2 vế của (1); (2); (3); (4) ta có

2(OA+OC+OB+OD)>AB+BC+CD+AD=C (C là chu vi tứ giác)

=> 2(AC+BD)>C => AC+BD>C/2 (dpcm)

Gọi O là giao điểm của AC và BD.Ta có :

OA + OB > AB , OB + OC > AC ; OC + CD > CD , OD + OA > AD.Cộng từng vế các bất đẳng thức trên rồi chia cho 2 ,ta được \(AC+BD>\frac{AB+BC+CD+AD}{2}\)

Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi

Kết hợp : AC + BD < AB + BC + CD + DA

Vậy \(\frac{AB+BC+CD+AD}{2}< AC+BD< AB+BC< CD+DA\)

Đặt độ dài AB = a, BC = b, CD = c, AD = d

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD

Trong ∆OAB, ta có:

OA + OA > a (bất đẳng thức tam giác)          (1)

Trong ∆OCD ta có:

Từ (1) và (2) suy ra:

OA + OB + OC + OD > a + c

Đặt p = AB + BC + CD + DA

Ta có: OA + OD > AD (1)

OA + OB > AB (2)

OB + OC > BC (3)

OC + OD > CD (4)

Cộng vế theo vế (1), (2), (3), (4) ta có:

2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA

2(AC + BD) > p

AC + BD > p/2 (*)

Mặt khác: Trong ΔABC có AC < AB + BC (5)

Trong ΔACD có AC < AD + CD (6)

Cộng vế theo vế (5) và (6) ta có:

2AC < AB + BC + CD + DA

Tương tự ta cũng có BD < p/2. Suy ra: AC + BC < (p/2) + (p/2)

Hay AC + BD < p (**)

Từ (*) và (**) ta có: (p/2) < AC + BD < p.

giả sử tứ giác đó có tên là abcd, gọi o là giao điểm của hai đường chéo ac và bd

Áp dụng BĐT tam giác(học ở lớp 7) ta có:

AO+OB>AB; OA+OD>AD ; OB+OC>CD ; OC+OC>CD

Cộng từng vế lại ta được 2AC+2BD>AB+BC+CD+DA(dpcm)

ủng hộ mik nhá ;)

Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD của hình tứ giác ABCD

Trong các tam giác AOB và COD theo bất đẳng thức tam giác ta lần lượt có :

          OA + OB > AB

         OC + OD > CD

Cộng theo từng vế bất đẳng thức trên ta có :

       AB + BD > AB + CD  ( đpcm )