Gọi O là giao điểm của AC và BD.Ta có :

OA + OB > AB , OB + OC > AC ; OC + CD > CD , OD + OA > AD.Cộng từng vế các bất đẳng thức trên rồi chia cho 2 ,ta được \(AC+BD>\frac{AB+BC+CD+AD}{2}\)

Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi

Kết hợp : AC + BD < AB + BC + CD + DA

Vậy \(\frac{AB+BC+CD+AD}{2}< AC+BD< AB+BC< CD+DA\)

Đặt độ dài AB = a, BC = b, CD = c, AD = d

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD

Trong ∆OAB, ta có:

OA + OA > a (bất đẳng thức tam giác)          (1)

Trong ∆OCD ta có:

Từ (1) và (2) suy ra:

OA + OB + OC + OD > a + c

Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi tứ giác đó và nhỏ hơn chu vi tứ giác đó: 
*Theo câu 1 thì AC<p và BD < p => AC + BD < 2p tổng 2 đường chéo nhỏ hơn chu vi (đpcm) 
* giao của AC và BD là O. 
trong tam giác OAB có OB + OA > AB , trong tam giác OBC có OB + OC > BC 
trong tam giác OADcó OD + OA > AD , trong tam giác ODC có OD + OC > DC 
cổng 4 bất đẳng thức cùng chiề này lại ta có: 
2.OB + 2.OD + 2.OA + 2.OC > AB + BC + CD + DA 
<=> 2 BD + 2 AC > 2p <=> BD + AC > p tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi (đpcm) 

Đặt p = AB + BC + CD + DA

Ta có: OA + OD > AD (1)

OA + OB > AB (2)

OB + OC > BC (3)

OC + OD > CD (4)

Cộng vế theo vế (1), (2), (3), (4) ta có:

2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA

2(AC + BD) > p

AC + BD > p/2 (*)

Mặt khác: Trong ΔABC có AC < AB + BC (5)

Trong ΔACD có AC < AD + CD (6)

Cộng vế theo vế (5) và (6) ta có:

2AC < AB + BC + CD + DA

Tương tự ta cũng có BD < p/2. Suy ra: AC + BC < (p/2) + (p/2)

Hay AC + BD < p (**)

Từ (*) và (**) ta có: (p/2) < AC + BD < p.

hoa hậu,k nha

Gọi O là giao điểm 2 dường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.
Áp dụng định lý " trong một tam giác một cạnh thì bé hơn tổng 2 cạnh kia" ta có:
AB < OA + OB (1)
BC < OB + OC (2)
CD < OC + OD (3)
DA < OD + OA (4)
(1) + (2) + (3) + (4) :
AB + BC + CD + DA < 2(OA + OC + OB + OD) = 2(AC + BD)
hay (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD (*)
Mặt khác :
AC < AB + BC (1')
BD < BC + CD (2')
AC < CD + DA (3')
BD < DA + AB (4')
(1') + (2') + (3') + (4') :
2(AC + BD) > 2(AB + BC + CD + DA)
hay AC + BD < AB + BC + CD + DA (**)
Từ (*) và (**) (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD < AB + BC + CD + DA

Gọi O là giao điểm 2 dường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.
Áp dụng định lý " trong một tam giác một cạnh thì bé hơn tổng 2 cạnh kia" ta có:
AB < OA + OB (1)
BC < OB + OC (2)
CD < OC + OD (3)
DA < OD + OA (4)
(1) + (2) + (3) + (4) :
AB + BC + CD + DA < 2(OA + OC + OB + OD) = 2(AC + BD)
hay (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD (*)
Mặt khác :
AC < AB + BC (1')
BD < BC + CD (2')
AC < CD + DA (3')
BD < DA + AB (4')
(1') + (2') + (3') + (4') :
2(AC + BD) > 2(AB + BC + CD + DA)
hay AC + BD < AB + BC + CD + DA (**)
Từ (*) và (**) (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD < AB + BC + CD + DA

Chúc bạn học tốt !!!

                                  

Giả sử tứ giác ABCD có: AB=a,BC=b,CD=c,DA=d.

Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:

AC+BD=AO+OB+OC+OD>AB+CD=a+c

Tương tự: AC+BD>b+d.

Suy ra: 2(AC+BD)>a+b+c+d⇒AC+BD=a+b+c+d2

Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

AC<a+b;AC<c+d

BD<b+c;BD<a+d

⇒2(AC+BD)<2(a+b+c+d).

⇒AC+BD<a+b+c+d.

Vậy tổng hai dường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác.

Vo Trong Duy mang hình avata hentai