Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử phân số trên chưa tối giản
=> Tồn tại một số nguyên tố d để : \(5n+2⋮d\) và \(\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)⋮d\)
+) \(\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)⋮d\)
Mà : d nguyên tố
=> \(3n+1⋮d\) hay \(2n+1⋮d\)
+) Nếu : \(3n+1⋮d\)
\(5\in N\Rightarrow5\left(3n+1\right)⋮d\Rightarrow15n+5⋮d\)
\(5n+2⋮d\) ; \(3\in N\Rightarrow3\left(5n+2\right)⋮d\Rightarrow15n+6⋮d\)
\(\Rightarrow\left(15n+6\right)-\left(15n+5\right)⋮d\)
\(\Rightarrow15n+6-15n-5⋮d\Rightarrow1⋮d\)
d là ước của 1 \(\Rightarrow d\in\left\{-1;1\right\}\) ( Vô lý vì d nguyên tố )
=> loại
+) Nếu \(2n+1⋮d\)
\(5\in N\Rightarrow5\left(2n+1\right)⋮d\Rightarrow10n+5⋮d\)
\(5n+2⋮d;2\in N\Rightarrow2\left(5n+2\right)⋮d\Rightarrow10n+4⋮d\)
\(\Rightarrow\left(10n+5\right)-\left(10n+4\right)⋮d\)
\(\Rightarrow10n+5-10n-4⋮d\Rightarrow1⋮d\)
d là ước của 1 \(\Rightarrow d\in\left\{-1;1\right\}\) ( Vô lý vì d nguyên tố )
=> loại => Giả sử sai
Để cm phân số bất kì tối giản thì chúng ta hãy cm rằng tử và mẫu cua chúng có UCLN là \(\pm\)1 .
Gọi d là UC( 5n+2;(3n+1)(2n+1)).
\(5n+2⋮d\) và\(\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)⋮d\)
mà d là snt nên \(3n+1⋮d\) hoặc \(2n+1⋮d\)
\(\Leftrightarrow\)\(3\left(5n+2\right)⋮d\)và \(5\left(3n+1\right)⋮d\)
\(\Leftrightarrow\)\(15n+6⋮d\)và \(15n+5⋮d\)
\(\Leftrightarrow15n+6-\left(15n+5\right)⋮d\)
\(\Leftrightarrow d\in U\left(1\right)\)\(=\left\{\pm1\right\}\)
Vậy phân số đã cho tối giản.
Chúc bạn học tốt !!!
\(\text{Giải: }\)
\(\text{Gọi ƯCLN ( 3n + 2 ; 5n + 3 ) = d }\)\(\left(d\in N\text{* }\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n+2⋮d\\5n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(3n+2\right)⋮d\\3\left(5n+3\right)⋮d\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}15n+10\\15n+9\end{cases}\Rightarrow\left(15n+10\right)-\left(15n+9\right)}\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow\text{3n + 2 và 5n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau}\)
\(\Rightarrow\frac{3n+2}{5n+3}\text{là phân số tối giản }\)
\(\text{Vậy ..................................}\)
có j thắc mắc thì ib cho mk nhé
Đặt ƯCLN \(3n+2;5n+3=d\)( d \(\inℕ^∗\))
Ta có : \(3n+2⋮d\Rightarrow15n+10⋮d\)(1)
\(5n+3⋮d\Rightarrow15n+9⋮d\)(2)
Lấy (1) - (2) ta được : \(15n+10-15n-9⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
Vậy ta có đpcm
1) Gọi \(d=ƯCLN\left(2n+1;3n+2\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(2n+1\right)⋮d\\2\left(3n+2\right)⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2\left(3n+2\right)-3\left(2n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\Rightarrow2n+1\)và\(3n+2\)là nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow\frac{2n+1}{3n+2}\)là phân số tối giản\(\left(đpcm\right)\)
câu 1 :
gọi d = ƯCLN ( 2n + 1; 3n +2 )
=> 2n + 1 chia hết cho d => 3 ( 2n +1 ) chia hết cho d
3n + 2 chia hết cho d => 2 ( 3n + 2 ) chia hết cho d
ta có : 3 ( 3n + 2 ) - [ 2 ( 2n + 21) ] hay 6n + 4 - [ 6n + 3 ] chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d -> 2n +1 và 3n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau
=> \(\frac{2n+1}{3n+2}\) là phân số tối giản
a, \(A=\frac{a^3+a^2-1}{a^3+2a^2+2a+1}=\frac{a^2\left(a+1\right)+\left(a+1\right)\left(a-1\right)}{a^2\left(a+1\right)+a\left(a+1\right)+a\left(a+1\right)}=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+a-1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\)
b, Gọi ƯCLN(a2 + a - 1,a2 + a + 1) là d
=> a2 + a - 1 chia hết cho d
a2 + a + 1 chia hết cho d
=> (a2 + a + 1) - (a2 + a - 1) chia hết cho d
=> 2 chia hết cho d
=> d = {1;2}
Mà a2 + a - 1 = a(a + 1) - 1 là số lẻ nên d là số lẻ
=> d khác 2
=> d = 1
Vậy A là phân số tối giản (đpcm)
Bài 2a:
Giải:
Gọi ước chung lớn nhất của n - 1 và n - 2 là d khi đó:
(n -1) ⋮ d và (n - 2) ⋮ d
{n -1 - n + 2] ⋮ d
[(n -n) + (2 -1)] ⋮ d
[0 + 1] ⋮ d
1 ⋮ d
Ước chung lớn nhất của (n - 1) và (n - 2) là 1
Hay phân số đã cho là tối giản (ĐPCM)
Bài 2b:
Giải:
Gọi ước chung lớn nhất của (2n + 1) và n là d khi đó:
(2n + 1) ⋮ d và n ⋮ d
(2n + 1) ⋮ d và 2n ⋮ d
[2n - 2n - 1] ⋮ d
[0 - 1] ⋮ d
1 ⋮ d
Ước chung lớn nhất của (2n + 1) và n là 1
Hay phân số đã cho là phân số tối giản (ĐPCM)
Bài 1:
Theo đề, ta có:
\(\dfrac{a+6}{b+14}=\dfrac{3}{7}\)
=>7a+42=3b+42
=>7a=3b
hay a/b=3/7
Olm chào em. Đây là toán nâng cao chuyên đề phân số, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:
Giải:
a; CM \(\frac{2n+1}{5n+2}\) là phân số tối giản.
Gọi ƯCLN (2n + 1; 5n + 2) = d
Khi đó: (2n+ 1) ⋮ d và (5n + 2) ⋮ d
[10n + 5] ⋮ d và (10n + 4) ⋮ d
[10n + 5 - 10n - 4] ⋮ d
[(10n - 10n) + (5 - 4)] ⋮ d
[ 0 + 1] ⋮ d
d = 1
Vậy ƯCLN(2n+ 1; 5n+ 2) = 1 hay phân số đã cho là phân số tối giản.
Gọi \(ƯCLN\)\((2n+1,6n+7)=d\)
Ta có : \(\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\6n+7⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}6(2n+1)⋮d\\2(6n+7)⋮d\end{cases}}\)
Làm nốt nhé :v
Gọi ( 2n+1 , 6n+7 )=d
=>\(\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\6n+7⋮d\end{cases}}\)
===>\(\hept{\begin{cases}6\cdot\left(2n+1\right)⋮d\\2\cdot\left(6n+7\right)⋮d\end{cases}}\)
=>\(\hept{\begin{cases}12n+6⋮d\\12n+14⋮d\end{cases}}\)
<=>(12n+14 - 12n+6) \(⋮\)d
<=>8 \(⋮\)d
=> d thuộc ước của 8.
Bạn tự cm d=1 nhé!
~ Chúc bạn hok tốt ~
2n+1 và 2n nguyên tố cùng nhau
xét 2n+1 và n+1
n+1=2n+2. mà 2n+2 và 2n+1 nguyên tố cùng nhau
hay 2(n+1) và 2n+1 nguyên tố cùng nhau. mà 2n+1 là số lẻ, 2 là số chẵn nên 2 và 2n+1 nguyên tố cùng nhau thì n+1 và 2n+1 cũng nguyên tố cùng nhau
=> 2n(n+1) và 2n+1 nguyên tố cùng nhau thì phân số trên đã tối giản
a) *) \(\frac{n-1}{3-2n}\)
Gọi d là ƯCLN (n-1;3-2n) (d\(\inℕ\))
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n-1⋮d\\3-2n⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n-2⋮d\\3-2n⋮d\end{cases}\Leftrightarrow}\left(2n-2\right)+\left(3-2n\right)⋮d}\)
\(\Leftrightarrow1⋮d\left(d\inℕ\right)\Rightarrow d=1\)
=> ƯCLN (n-1;3-2n)=1
=> \(\frac{n-1}{3-2n}\)tối giản với n là số tự nhiên
*) \(\frac{3n+7}{5n+12}\)
Gọi d là ƯCLN (3n+7;5n+12) \(\left(d\inℕ\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n+7⋮d\\5n+12⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}15n+35⋮d\\15n+36⋮d\end{cases}\Leftrightarrow}\left(15n+36\right)-\left(15n+35\right)⋮d}\)
\(\Leftrightarrow1⋮d\left(d\inℕ\right)\)
\(\Rightarrow d=1\)
=> ƯCLN (3n+7;5n+12)=1
=> \(\frac{3n+7}{5n+12}\) tối giản với n là số tự nhiên
b) *) \(\frac{2n+5}{n-1}\left(n\ne1\right)\)
\(=\frac{2\left(n-1\right)+7}{n-1}=2+\frac{7}{n-1}\)
Để \(\frac{2n+5}{n-1}\) nhận giá trị nguyên => \(2+\frac{7}{n-1}\) nhận giá trị nguyên
2 nguyên => \(\frac{7}{n-1}\)nguyên
=> 7 chia hết cho n-1
n nguyên => n-1 nguyên => n-1\(\inƯ\left(7\right)=\left\{-7;-1;1;7\right\}\)
Ta có bảng
| n-1 | -7 | -1 | 1 | 7 |
| n | -6 | 0 | 2 | 8 |
vậy n={-6;0;2;8} thì \(\frac{2n+5}{n-1}\) nhận giá trị nguyên
Ta có: \(\frac{5n+2}{\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)}=\frac{5n+2}{6n^2+5n+1}\)
Giả sử d là ước chung lớn nhất của \(\left(5n+2\right);\left(6n^2+5n+1\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}6.\left(5n+2\right)^2⋮d\\25.\left(6n^2+5n+1\right)⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow25\left(6n^2+5n+1\right)-6\left(5n+2\right)^2⋮d\)
\(\Rightarrow5n+1⋮d\)
\(\Rightarrow\left(5n+2\right)-\left(5n+1\right)=1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
Vậy \(\frac{5n+2}{\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)}\)là phân số tối giản
Gọi d = (5n + 3 ; 3n + 2) (d thuộc N)
=> (5n + 3) chia hết cho d và (3n + 2) chia hết cho d
=> 5.(3n + 2) - 3.(5n + 3) chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=> d = 1 (vì d thuộc N)
=> ƯCLN(5n + 3 ; 3n + 2) = 1
=> Phân số 5n+3/3n+2 tối giản với mọi n thuộc N
dcmm may
Gọi ƯCLN (5n+2,3n+1) = d
Suy ra \(\hept{\begin{cases}3n+1⋮d\\5n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(3n+1\right)⋮d\\5n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+2⋮d\\5n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(6n+2\right)-\left(5n+2\right)⋮d\Rightarrow n⋮d\Rightarrow3n⋮d\)
Mà \(3n+1⋮d\)\(\Rightarrow\left(3n+1\right)-3n⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
Suy ra ƯCLN (5n+2, 3n+1) = 1
Gọi ƯCLN (5n+2,2n+1) = k
Suy ra \(\hept{\begin{cases}2n+1⋮k\\5n+2⋮k\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(2n+1\right)⋮k\\5n+2⋮k\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+2⋮k\\5n+2⋮k\end{cases}}\Rightarrow\left(5n+2\right)-\left(4n+2\right)⋮k\Rightarrow n⋮k\Rightarrow2n⋮k\)
Mà \(2n+1⋮k\Rightarrow\left(2n+1\right)-2n⋮k\Rightarrow1⋮k\Rightarrow k=1\)
Suy ra ƯCLN (5n+2,2n+1)= 1
Do đó : phân số\(\frac{5n+2}{\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)}\)là phân số tối giản
Giả sử phân số \(\frac{5n+2}{\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)}\)chưa tối giản.
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5n+2⋮a\\\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)⋮a\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)-5n+2⋮a\)
\(\Leftrightarrow\left(6n+2\right)-\left(5n+2\right)⋮a\)
\(\Leftrightarrow6n+2-5n-2⋮a\)
\(\Leftrightarrow1n⋮a\)
\(\Rightarrow a=1\)
~.~
coppy