Ta có: m - 1 2   ≥  0;  n - 1 2   ≥  0

       ⇒  m - 1 2  +  n - 1 2   ≥  0

       ⇔  m 2  – 2m + 1 + n 2  – 2n + 1  ≥  0

       ⇔  m 2  +  n 2  + 2  ≥  2(m + n)

\(m^3+n^3+p^3-3mnp=\left(m^3+3m^2n+3mn^2+n^3\right)+p^3-3mnp-3m^2n-3mn^2=\left(m+n\right)^3+p^3-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left[\left(m+n\right)^2-\left(m+n\right)p-p^2\right]-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-mp-np-p^2\right)-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-mp-np-p^2-3mn\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-mn-np-mp\right)\)

\(m^3+n^3+p^3-3nmp\)

\(=\left(m+n\right)^3+p^3-3mn\left(m+n\right)-3mnp\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-pm-pn+p^2\right)-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-pm-pn-mn\right)\)

ta có \(m^2-2m+1+n^2-2n+1=\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\Rightarrow DPCM\)

áp dụng BDT cô-si , ta có :

\(m^2+1\ge2\sqrt{m^2.1}=>m^2+1\ge2m\)

\(n^2+1\ge2\sqrt{n^2.1}=>n^2+1\ge2n\)

\(\Rightarrow m^2+1+n^2+1\ge2m+2n\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)

dấu "=" xảy ra khi m=n =1

=> đpcm

bảo nam trần sai rồi

Ta có \(m^2\ge0\) và \(n^2\ge0\)

Do đó \(m^2+n^2\ge0\)

Suy ra \(m^2+n^2+2\ge2\) (điều phải chứng minh).

vì m² > 0 với mọi m

n² > 0 với mọi n

=>m²+n² > 0

do đó  m²⁺ n² +2 > 0+2=2

\(\left(2-n\right)\left(n^2-3n+1\right)+n\left(n^2+12\right)+8\)

\(=2n^2-6n+2-n^3+3n^2-n+n^3+12n+8\)

\(=5n^2+5n+10\)

\(=5\left(n^2+n+2\right)⋮5\) (đpcm)

A a^2+2a nhỏ hơn a^2+2a+1 suy ra đpcm

B m^2+n^2+2-2(m+n)

=m^2-2m+1+n^2-2n+1=(m-1)^2+(n-1)^2 lớn hơn hoặc bg 0+0=0

Suy ra m^2+n^2+2-2(m-n) lớn hơn hoặc bg 0 

Suy ra m^2+n^2+2 lớn hơn hoặc bg 2(m-n)