Ta có: \(\frac{1}{5^2}< \frac{1}{4.5};\frac{1}{6^2}< \frac{1}{5.6};...;\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)

Cộng vế với vế ta được: \(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{99.100}=\frac{1}{4}-\frac{1}{100}=\frac{6}{25}< \frac{6}{24}=\frac{1}{4}\)(1)

Tương tự: \(\frac{1}{5^2}>\frac{1}{5.6};\frac{1}{6^2}>\frac{1}{6.7};...;\frac{1}{100^2}>\frac{1}{100.101}\)

Cộng vế với vế ta được \(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{100^2}>\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{100.101}=\frac{1}{5}-\frac{1}{101}=\frac{96}{505}>\frac{96}{576}=\frac{1}{6}\)(2)

Từ (1) và (2) =>đpcm

\(Ta\)  \(có : \)

\(1 / 5^2 + 1 /6^2 + ... + 1 /100^2 < 1 /4.5\)\(+ 1 / 5 .6 + ... + 1 / 99 .100\)

\(Mà ta có:\)\(1 / 4 .5 + 1 / 5 .6 + ... + 1 / 99 .100\)

\(\Rightarrow\)\(1 / 4 - 1 / 5 + 1 / 5 - 1 / 6 + ... +\)\(1 / 99 - 1 / 100\)

\(\Rightarrow\)\(1 / 4 - 1 / 100\) \(< 1 / 4\)

\(Nên 1 / 5^2 + 1 /6^2 + ...+ 1 / 100^2 < 1 / 4\)

Tương tự chứng minh tiếp nhé 😘😘

B=1/5^2+1/6^2+....+1/100^2.1/6<B<1/4

Nhanh lên nhé

Giups mnihf đi

Đặt \(A=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

Ta có : 

\(A>\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+\frac{1}{7.8}+...+\frac{1}{100.101}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+...+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\)

\(A>\frac{1}{5}-\frac{1}{101}>\frac{1}{5}-\frac{1}{30}=\frac{1}{6}\)

\(\Rightarrow\)\(A>\frac{1}{6}\) \(\left(1\right)\)

Lại có : 

\(A< \frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{99.100}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(A< \frac{1}{4}-\frac{1}{100}< \frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\)\(A< \frac{1}{4}\) \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra : \(\frac{1}{6}< A< \frac{1}{4}\) ( đpcm ) 

Vậy \(\frac{1}{6}< A< \frac{1}{4}\)

Chúc bạn học tốt ~ 

thanks

ok, ta co  \(A=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

\(A< \frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+...+\frac{1}{99\cdot100}\)

\(A< \frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+..+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(A< \frac{1}{4}-\frac{1}{100}\)

\(A< \frac{1}{4}\)

Lai co  \(A>\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+\frac{1}{7\cdot8}+...+\frac{1}{100\cdot101}=\)

\(=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+..+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\)

\(=\frac{1}{5}-\frac{1}{101}\)

\(A>\frac{1}{6}\)

ta có :\(\frac{1}{5^2}<\frac{1}{4.5}\)

 \(\frac{1}{6^2}<\frac{1}{5.6}\)

\(\frac{1}{7^2}<\frac{1}{6.7}\)

.....

\(\frac{1}{100^2}<\frac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow A<\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{99.100}\)

                \(=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=\frac{1}{4}-\frac{1}{100}<\frac{1}{4}\)     (1)

Ta có : \(\frac{1}{5.6}<\frac{1}{5^2}\)'

\(\frac{1}{6.7}<\frac{1}{6^2}\)

....\(\frac{1}{100.101}<\frac{1}{100^2}\)

\(\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+\frac{1}{7.8}+...+\frac{1}{100.101}\) <A 

\(=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+....+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\) <A

\(\frac{1}{5}-\frac{1}{101}\) <A

mà \(\frac{96}{5.101}=\frac{96}{505}>\frac{96}{576}\)

hay \(A>\frac{1}{6}\)                                     (2)
từ (1); và (2) suy ra \(\frac{1}{6}<\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+..+\frac{1}{100^2}<\frac{1}{4}\) (đpcm)

đây là cách dễ hiểu nhất nhé

bài này dễ lắm 8h30'  mình giải cho đang bận

k đi rồi mk trả lời cho

ko tin người -_-