Giả sử tứ giác đó là ABCE, các điểm M,N,P,Q ,E,F lần lượt là trung điểm của các đoạn : AB, BC,CD, DA ,BD và AC 
Ta chứng minh được EMFP, QENF, MNPQ là hình bình hành ( cái này chỉ cần sử dụng đường trung bình là được )
từ đó suy ra MP, QN, EF đồng qui tại trung điểm G của EF ( vì 3 hình bình hành trên đồng tâm )

a: Gọi tứ giác đề bài cho là ABCD, với M,N,P,Q,I,K lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA,AC,BD

Xét ΔBAC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình của ΔBAC

=>MN//AC và \(MN=\frac{AC}{2}\)

Xét ΔDAC có

P,Q lần lượt là trung điểm của DC,DA

=>PQ là đường trung bình của ΔDAC

=>PQ//AC và \(PQ=\frac{AC}{2}\)

MN//AC

PQ//AC

Do đó: MN//PQ

\(MN=\frac{AC}{2}\)

\(PQ=\frac{AC}{2}\)

Do đó; MN=PQ

Xét ΔABC có

M,I lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>MI là đường trung bình của ΔABC

=>MI//BC và \(MI=\frac{BC}{2}\)

Xét ΔDBC có

K,P lần lượt là trung điểm của DB,DC

=>KP là đường trung bình của ΔDBC

=>KP//BC và \(KP=\frac{BC}{2}\)

MI//BC

KP//BC

Do đó: MI//KP

\(MI=\frac{BC}{2}\)

\(KP=\frac{BC}{2}\)

Do đó: MI=KP

Xét tứ giác MIPK có

MI//PK

MI=PK

Do đó; MIPK là hình bình hành

=>MP cắt IK tại trung điểm của mỗi đường(1)

Xét tứ giác MNPQ có

MN//PQ

MN=PQ

Do đó; MNPQ là hình bình hành

=>MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra MP,NQ,IK đồng quy

Giả sử tứ giác đó là ABCE, các điểm M,N,P,Q ,E,F lần lượt là trung điểm của các đoạn : AB, BC,CD, DA ,BD và AC 
Ta chứng minh được EMFP, QENF, MNPQ là hình bình hành ( cái này chỉ cần sử dụng đường trung bình là được )
từ đó suy ra MP, QN, EF đồng qui tại trung điểm G của EF ( vì 3 hình bình hành trên đồng tâm )

Xét tam giác BCD có: - KB = KC (gt)
- MB = MD (gt)
MK là trung bình của BCD.
MK song song và bằng ½ CD
Tương tự như trên ta có:
- HN là trung bình ADC. HN song song và bằng ½ CD.
- HM là trung bình ABD. HM song song và bằng ½ AB.
- KN là trung bình của CAB. KN song song và bằng ½ AB.
H, M, N, K thẳng hàng (tiên đề Ơ – clit)
HK là trung bình của hình thang ABCD (tự chứng minh).
HK = (AB + CD)/2 (t/c)
HM + NK + KM + HN = 2HK.
mà MN = HK – HM – NK
MN = (HM + NK + KM + HN)/2 – HM – NK
= (AB + CD)/2 – AB
= 1/2AB – AB + CD/2
= CD/2 – 1/2AB
= (CD – AB)/2 (đpcm)

k có hình nên chả hiểu viết cái j