1. Giả sử rằng  là một số hữu tỉ. Điều đó có nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b sao cho a /b = .
2. Như vậy  có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọnđược nữa): a / b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và (a / b)² = 2.
3. Từ (2) suy ra a² / b² = 2 và a² = 2 b².
4. Khi đó a² là số chẵn vì nó bằng 2 b² (hiển nhiên là số chẵn)
5. Từ đó suy ra a phải là số chẵn vì a² là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn).
6. Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2k.
7. Thay (6) vào (3) ta có: (2k)² = 2b²  4k² = 2b²  2k² = b².
8. Vì 2k² = b² mà 2k² là số chẵn nên b² là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn (lí luận tương tự như (5).
9. Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a / b là phân số tối giản ở (2).

Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận  là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận  là số vô tỉ.

Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ."

1. Giả sử rằng  là một số hữu tỉ. Điều đó có nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b sao cho a /b = .
2. Như vậy  có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọnđược nữa): a / b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và (a / b)² = 2.
3. Từ (2) suy ra a² / b² = 2 và a² = 2 b².
4. Khi đó a² là số chẵn vì nó bằng 2 b² (hiển nhiên là số chẵn)
5. Từ đó suy ra a phải là số chẵn vì a² là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn).
6. Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2k.
7. Thay (6) vào (3) ta có: (2k)² = 2b²  4k² = 2b²  2k² = b².
8. Vì 2k² = b² mà 2k² là số chẵn nên b² là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn (lí luận tương tự như (5).
9. Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a / b là phân số tối giản ở (2).

Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận  là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận  là số vô tỉ.

Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ."

tích mik nha

Cho tam giác ABC vuông tại A,đường cao AH.Gọi E,F lần lượt là trung điểm AHvà BH,CE cắt AF tại I. Chứng minh AF vuông góc với CE

giả sử √5 là số hữu tỉ 
=> √5 = a/b (a,b ∈ Z ; b ≠ 0) 
không mất tính tổng quát giả sử (a;b) = 1 
=> 5 = a²/b² 
<=> a² = 5b² 
=> a² ⋮ 5 
5 nguyên tố 
=> a ⋮ 5 
=> a² ⋮ 25 
=> 5b² ⋮ 25 
=> b² ⋮ 5 
=> b ⋮ 5 
=> (a;b) ≠ 1 (trái với giả sử) 
=> giả sử sai 
=> √5 là số vô tỉ

Giả sử căn bậc hai của 5 là số hữu tỉ

Suy ra: căn bậc hai của 3 = p/q (ƯCLN(p,q)=1)

Suy ra: căn bậc hai của 3 p=q

Suy ra: (căn bậc hai của 3p)^2=q^2

3p^2=q^2. Suy ra: q^2 chia hết cho 3.

Suy ra: q chia hết cho 3  (1)

Đặt q=3k. Suy ra: 3p^2=(3k)^2

                  3p^2=9k^2

p^2=3k^2. Suy ra: p^2 chia hết cho 3

Suy ra: p chia hết cho 3   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: UWCLN(p,q)=3

Mâu thuẫn với ƯCLN(p,q)=1

Suy ra p/q không tồn tại

Giả sử \(\sqrt{5}\)là số hữu tỉ thì \(\sqrt{5}=\frac{k_1}{k_2}\)với \(k_1,k_2\inℤ\)và \(\left(k_1;k_2\right)=1\)

\(\Rightarrow k_1=\sqrt{5}k_2\)

\(\Rightarrow k_1^2=5k_2^2\)(1)

\(\Rightarrow k_1^2⋮5\Rightarrow k_1⋮5\)(vì 5 là số nguyên tố)

Đặt \(k_1=5k_3\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left(5k_3\right)^2=5k_2^2\)

\(\Rightarrow25k_3^2=5k_2^2\Rightarrow5k_3^2=k_2^2\)

\(\Rightarrow k_2^2⋮5\Rightarrow k_2⋮5\)(vì 5 là số nguyên tố)

Lúc đó thì \(\left(k_1;k_2\right)\ne1\)(vì \(k_1;k_2\)cùng chia hết cho 5)

Vậy điều giả sử là sai hay \(\sqrt{5}\)là số vô tỉ (đpcm)