\(A=5+5^2+...+5^8\)

\(=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+...+\left(5^7+5^8\right)\)

\(=1.\left(5+5^2\right)+5.\left(5+5^2\right)+...+5^6.\left(5+5^2\right)\)

\(=\left(1+5+...+5^6\right)\left(5+5^2\right)\)

\(=\left(1+5+...+5^6\right).30\)chia hết cho 30.

\(A=5+5^2+5^3+........+5^8\)

    \(=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+...+\left(5^7+5^8\right)\)

 \(=1.\left(5+5^2\right)+5.\left(5+5^2\right)+...+5^6.\left(5+5^2\right)\)

\(=1.30+5.30+...+5^6.30\)

 \(=\left(1+5+...+5^6\right)30\text{chia hết cho 30.}\)

A = 1/3.3/4.5/6...99/100

B = 2/3.4/5.6/7...100/101

Chứng minh A < B

Với: a; b; n ∈ N*; a < b ta có:

\(\frac{a}{b}\) = 1 - \(\frac{b-a}{b}\); \(\frac{a+n}{b+n}\) = 1 - \(\frac{b-a}{b+n}\)

Vì a < b nên b - a > 0

\(\frac{b-a}{b}\) > \(\frac{b-a}{b+n}\)

\(\frac{a}{b}\) < \(\frac{a+n}{b+n}\) (1) (hai phân số, phân số nào có phần bù nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn)

Áp dụng công thức (1) ta có:

\(\frac34\) < \(\frac{3+1}{4+1}=\frac45\)

\(\frac56<\frac{5+1}{6+1}=\frac67\)

.................................

\(\frac{99}{100}<\frac{99+1}{100+1}=\frac{100}{101}\)

Nhân vế với vế ta được:

3/4.5/6....99/100 < 4/5.6/7....100/101

suy ra:

A = 1/3.3/4.5/6....99/100 < 2/3.4/5.6/7..100/101 = B

A < B (Đpcm)

Câu b:

A = 1/3.3/4.5/6...99/100

B = 2/3.4/5.6/7...100/101

A.B = 1/3.3/4.5/6...99/100.2/3.4/5....100/101

A.B = \(\frac{1.3.5\ldots99}{3.5.7.\ldots101}\).\(\frac{2.4.6\ldots100}{3.4.6.\ldots100}\)

A.B = 1/101.2/3

A.B = 2/303

a)

\(A=\frac{x}{y}\Leftrightarrow n-2\ne0\Leftrightarrow n\ne2\)

b)

A là số nguyên khi \(n-2\inƯ_{-5}\)

\(\Rightarrow n-2\in\left\{1;5;-1;-5\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{3;8;1;-3\right\}\)

Vậy \(n\in\left\{3;8;1;-3\right\}\)

Đặt BT là B

\(\Rightarrow B=3\left(1+3^2+3^2+3^3\right)+.......+3^{97}\left(1+3+3^2+3^3\right)\)

\(\Rightarrow B=3.40+....+3^{97}.40\) chia hết cho 40

=> B chia hết cho 40

3/4! + 3/5! + 3/6! + ... + 3/100!

< 3/4! + 4/5! + 5/6! + ... + 99/100!

< 4/4! - 1/4! + 5/5! - 1/5! + 6/6! - 1/6! + ... + 100/100! - 1/100!

< 1/3! - 1/4! + 1/4! - 1/5! + 1/5! - 1/6! + ... + 1/99! - 1/100!

< 1/3! - 1/100! < 1/3!

Hướng làm thôi nhé.

a) 2n+2 với 2n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau => n+1 cũng nguyên tố cùng nhau với 2n+3

b) Do 2n+3 và 2n+4 là số nguyên tố cùng nhau và 2n+3 không chia hết cho 2 nên 2n+3 và 4n+8 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Nguyễn Như Nam ơi thật ra tớ chẳng hiểu cậu nói gì