Có:\(\left(3^{n+2}-2^{n+4}+3^n+2^n\right)=\left(3^n.3^2-2^n.2^{^4}+3^n+2^n\right)=3^n\left(3^2+1\right)-2^n.\left(2^4-1\right)=3^n.10-2^n.15\)Vì 30 chia hết cho 10 nên \(3^n.10\) cũng chia hết cho 10      

Vì 30 chia hết cho 15 nên \(2^n.15\) cũng chia hết cho 15      

Từ 2 điều nêu trên ta suy ra:  \(\left(3^n.10-2^n.30\right)\)  chia hết cho 30

Vậy: \(\left(3^{n+2}-2^{n+4}+3^n+2^n\right)\)chia hết cho 30 (ĐPCM)

A=9.3^n+3^n+2^n-16.2^n

.=10.3^n-3.5.2^n=10.3^n-3.10.2^(n-1)=30[3^(n-1)-2^(n-1)]

haha đùa tí

\(3^{n+2}-2^{n+4}+3^n+2^n\)

\(=\left(3^{n+2}+3^n\right)-\left(2^{n+4}-2^n\right)\)

\(=\left(3^n.9+3^n\right)-\left(2^n.16-2^n\right)\)

\(=3^n.10-2^n.15\)

\(=3^{n-1}.30-2^{n-1}.30\)

\(=30\left(3^{n-1}-2^{n-1}\right)⋮30\left(đpcm\right)\)

3^{n+2 _ 2}

Giải:

Ta có:

\(3^{n+2}-2^{n+4}+3^n+2^n\)

\(=3^n.9-2^n.16+3^n+2^n\)

\(=3^n\left(9+1\right)-2^n\left(16-1\right)\)

\(=3^n.10+2^n.15\)

\(=3^{n-1}.3.10-2^{n-1}.2.15\)

\(=3^{n-1}.30-2^{n-1}.30\)

\(=30\left(3^{n-1}-2^{n-1}\right)\)

Mặt khác \(n\) là số nguyên dương nên \(n-1\) là số tự nhiên

\(\Rightarrow30\left(3^{n-1}-2^{n-1}\right)⋮30\)

Hay \(3^{n+2}-2^{n+4}+3^n+2^n⋮30\forall n\) nguyên dương (Đpcm)

Lời giải:

Biến đổi:

\(A=3^{n+1}-2^{n+1}+3^{n-1}-2^{n-1}\)

\(=3^{n-1}(3^2+1)-2^{n-1}(2^2+1)\)

\(=10.3^{n-1}-5.2^{n-1}\)

Ta thấy \(10.3^{n-1}\vdots 10\)

Với mọi \(n\in\mathbb{N}>1\Rightarrow 2^{n-1}\vdots 2\Rightarrow 5.2^{n-1}\vdots 10\)

Do đó \(10.3^{n-1}-5.2^{n-1}\vdots 10\Leftrightarrow A\vdots 10\)

Ta có đpcm.

3^n+2=3^n .3^2=9.3^2

2^n+2= 2^n. 2^2= 4.2^2

=>3^n+2- 2^n+2 +3^n- 2^n=9.3^n -4.2^n +3^n -2^n

=3^n.(9+1) -2^n.(4+1)=10.3^n -2^n.5

Vì:10.3^n chia hết cho 10 (mình ko bít viết dấu chia hết)

2^n chia hết cho 2; 5 chia hết cho5; 2,5 là số nguyên tố cùng nhau,n>0

=>2^n.5 chia hết cho 10 

dạy mình viết dấu chia hết đi!!!!!!!!!!!!!!!!