“Chứng minh rằng  $\sqrt{2}$  là số vô tỉ”. Một học sinh đã làm như sau:

Bước 1: Giả sử  $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ, tức là  $\sqrt{2}$ =  $\frac{m}{n}$, trong đó m, n ∈ N* , (m, n) = 1

Bước 2: Từ   $\sqrt{2}$ =  $\frac{m}{n}$ => m² = 2n²   => m²  là số chẵn

=> m là số chẵn => m = 2k, k ∈ N*.

=> n²  = 2k²  => n²  là  số chẵn =>  n là số chẵn

Bước 3: Do đó m chẵn, n chẵn mâu thuẫn với (m, n) = 1.

Bước 4: Vậy  $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

Lập luận trên đúng tới bước nào?

Chứng minh rằng: “Với mọi số tự nhiên n, n³ chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3”. Một bạn học sinh đã dùng phản chứng như sau:

Bước 1: Giả sử n không chia hết cho 3 khi đó n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2, k ∈ N .

Bước 2: Với n = 3k + 1 ta có  n³ = (3k + 1)³ = 27k³ + 27k²  + 9k + 1 chia hết cho 3

Bước 3: Với n = 3k + 2 ta có  n³ = (3k + 2)³ = 27k³ + 54k² + 36k + 4 không chia hết cho 3 (mâu thuẫn)

Bước 4: Vậy n chia hết cho 3.

Lập luận trên sai từ bước nào?

Bài 1: Cho đường tròn (I; R) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh M, I, N thẳng hàng

Bài 2: cho đường tròn tâm O và 3 dây cung song song với nhau là AA', BB', CC'. Chứng minh rằng trực tâm các tam giác ABC'; BCA' và CAB' cùng nằm trên 1 đường thẳng

Bài 3: Trên đường thẳng a cho các điểm A, B, C và trên đường thẳng b cho M, N, P thỏa mãn vectoAB=k. vectoAC và vectoMN=k. vectoMP (k khác 1). Giả sử X, Y, Z là các điểm chia các đoạn thẳng AM, BN và CP theo cùng 1 tỉ số. CMR: X, Y, Z thẳng hàng

Bài 4: Cho góc xOy và 2 điểm M, N di chuyển trên 2 cạnh Ox, Oy thỏa mãn OM=2ON.
a)) CMR: trung điểm I của MN luôn thuộc 1 đường thẳng cố định
b)) Nghiên cứu trường hợp giả thiết thay OM=2ON thành OM=mON với m là 1 hằng số cố định
c)) Nghiên cứu trường hợp thay giả thiết I là trung điểm MN thành giả thiết I là điểm chia MN theo tỉ số k cố định. (toán lớp 10 ạ)