Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(pt:\left(-x^2+3x-2\right)m+3x-5=0\)
\(\Leftrightarrow-x^2m+3mx-2m+3x-5=0\)
\(\Leftrightarrow-x^2m+\left(3m+3\right)x-2m-5=0\)
pt co nghiem \(\Leftrightarrow\Delta=\left(3m+3\right)^2-4m\left(2m+5\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow9m^2+18m+9-8m^2-20m\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+8>0\left(ld\right)\)
Vay pt luon co nghiem voi moi m
1.
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2+1\right)x^3-2m^2x^2-4x+m^2+1\)
\(f\left(x\right)\) xác định và liên tục trên R
\(f\left(x\right)\) có bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm (1)
\(f\left(0\right)=m^2+1>0\) ; \(\forall m\)
\(f\left(1\right)=\left(m^2+1\right)-2m^2-4+m^2+1=-2< 0\) ;\(\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;1\right)\) (2)
\(f\left(2\right)=8\left(m^2+1\right)-8m^2-8+m^2+1=m^2+1>0\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(1;2\right)\) (3)
\(f\left(-3\right)==-27\left(m^2+1\right)-18m^2+12+m^2+1=-44m^2-14< 0\)
\(\Rightarrow f\left(-3\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-3;0\right)\) (4)
Từ (1); (2); (3); (4) \(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có đúng 3 nghiệm phân biệt
2.
Đặt \(t=g\left(x\right)=x.cosx\)
\(g\left(x\right)\) liên tục trên R và có miền giá trị bằng R \(\Rightarrow t\in\left(-\infty;+\infty\right)\)
\(f\left(t\right)=t^3+m\left(t-1\right)\left(t+2\right)\)
Hàm \(f\left(t\right)\) xác định và liên tục trên R
\(f\left(1\right)=1>0\)
\(f\left(-2\right)=-8< 0\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(-2\right)< 0\Rightarrow f\left(t\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-2;1\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm với mọi m
Đặt \(f\left(x\right)=x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\Rightarrow f\left(x\right)\) liên tục trên R
Ta có: \(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(f\left(-1\right)=m^2+1>0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(-1\right)< 0\) ;\(\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-1;0\right)\) (đpcm)
nếu bài này mà chứng minh có 3 nghiệm thì mình phải làm như thế nào ạ..?
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2-5m+11\right)x^{2021}+2x^2+1\)
\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng thuộc R
\(f\left(0\right)=1>0\)
\(f\left(-1\right)=-\left(m^2-5m+11\right)+3=-\left(m-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{7}{4}< 0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow\) Pt đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1;0) với mọi m
Đặt \(f\left(x\right)=x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\)
Hàm \(f\left(x\right)\) liên tục trên R
\(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\right)\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^5\left(1+\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{m^2+2}{x^4}-\dfrac{1}{x^5}\right)=+\infty.1=+\infty\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại \(a>0\) sao cho \(f\left(a\right)>0\Rightarrow f\left(0\right).f\left(a\right)< 0\Rightarrow\) pt luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;+\infty\right)\)
\(f\left(-1\right)=m^2+1>0;\forall m\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow\) pt luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-1;0\right)\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^5\left(1+\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{m^2+2}{x^4}-\dfrac{1}{x^5}\right)=-\infty.1=-\infty\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại \(b< 0\) sao cho \(f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(b\right).f\left(-1\right)< 0\Rightarrow\) pt luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;-1\right)\)
Vậy pt đã cho luôn có ít nhất 3 nghiệm thực
Đặt \(f\left(x\right)=\left(5-3m\right)x^7+m^2x^4-2\Rightarrow f\left(x\right)\) liên tục trên R
\(f\left(0\right)=-2< 0\)
\(f\left(1\right)=m^2-3m+3=\left(m-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\) ;\(\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\) ;\(\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;1\right)\) (đpcm)
Đặt \(f\left(x\right)=m\left(x-1\right)^3\left(x^2-4\right)+x^4-3\)
\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R
\(f\left(1\right)=-2< 0\)
\(f\left(2\right)=13>0\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (1;2)
\(f\left(-2\right)=13>0\Rightarrow f\left(1\right).f\left(-2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2;1)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 2 nghiệm phân biệt
Tìm 2 giá trị của x để hàm \(f\left(x\right)\) nhận kết quả trái dấu là được.
a.
Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)
Hàm \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R
\(f\left(0\right)=-1< 0\) (chọn \(x=0\) do nó làm triệt tiêu tham số m, thường sẽ ưu tiên chọn những giá trị x kiểu thế này. Ở câu này, có đúng 1 giá trị x khiến m triệt tiêu nên phải chọn thêm)
\(f\left(-1\right)=m^2-1+6-1=m^2+4>0\) với mọi m (để ý rằng ta đã có \(f\left(0\right)\) âm nên cần chọn x sao cho \(f\left(x\right)\) dương, mà \(-m^2\) nên ta nên chọn x sao cho nó chuyển dấu thành \(m^2\))
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(-1\right)< 0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) Hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-1;0\right)\) với mọi m
Hay với mọi m thì pt luôn luôn có nghiệm
b.
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2+m+5\right)\left(3-x\right)^{2021}x+x-4\)
\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R
\(f\left(0\right)=-4< 0\)
(Tới đây, nếu ta chọn tiếp \(x=3\) để triệt tiêu m thì cho \(f\left(3\right)=-1\) vẫn âm, ko giải quyết được vấn đề, nên ta phải chọn 1 giá trị khác. Thường trong những trường hợp xuất hiện \(m^2\) thế này, cố gắng chọn x sao cho hệ số của \(m^2\) dương (nếu cần \(f\left(x\right)\) dương, còn cần \(f\left(x\right)\) âm thì chọn x sao cho hệ số \(m^2\) âm). Ở đây dễ nhất là chọn \(x=2\) , vì khi đó \(\left(3-2\right)^{2021}=1\) vừa đảm bảo hệ số \(m^2\) dương vừa dễ tính toán, nếu chọn \(x=1\) cũng được thôi nhưng quá to sẽ rất khó biến đổi)
\(f\left(2\right)=\left(m^2+m+5\right).\left(3-2\right)^{2021}.2+2-4=2\left(m^2+m+5\right)-2\)
\(=2m^2+2m+8=2\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{2}>0;\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(2\right)< 0;\forall m\Rightarrow\) hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;2\right)\) với mọi m
Hay pt đã cho luôn có nghiệm với mọi m
xét m=1 và m=-1 thì pt luôn có nghiệm
xét m#1 và m#-1
đặt f(x)=(1−m2)x5−3x−1(1−m2)x5−3x−1
f(x)liên tục trên R nên f(x) lt trên [-1,0]
f(-1)=m2+1m2+1>0
f(0)=-1
f(-1)*f(0)<0 suyra ( đpcm ) .
cái câu hỏi của bạn tôi không hiểu nó là gì
Đặt f(x) = (1-m^2)x^5 - 3x - 1f(x)= (1 - m2 )x5 -3x -1
Ta có: f(x)f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \mathbb{R}R nên f(x)f(x) liên tục trên [-1;0][−1;0].
Ta có: f(-1) = m2 + 1 và f(0) = -1 ⇒ f(-1). f(0) < 0 nên tồn tại x0 ∈(−1;2) để f(x0) = 0
Vậy phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm với mọi m.
f(x_0)=0
Đặt f(x)= (1-m2)x5 - 3x -1 hàm số xác định trên R nên hàm số xác định trên đoạn từ -1 đến 0
Ta có f(-1)= m2+1 luôn lớn hơn 0 với mọi m ; f(0) = -1
=> f(-1).f(0) <0, theo tính liên tục của hàm số suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Đặt f(x) = (1-m^2)x^5 - 3x - 1f(x)=(1−m2)x5−3x−1 và f(x)f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \mathbb{R}R nên f(x)f(x) liên tục trên [-1;0][−1;0].
Ta có \left\{ \begin{aligned} & f(-1)=m^2+1\\ & f(0)=-1 \end{aligned} \right. \Rightarrow f(-1).f(0) < 0{f(−1)=m2+1f(0)=−1⇒f(−1).f(0)<0 nên tồn tại x_0 \in (-1;2)x0∈(−1;2) để f(x_0)=0f(x0)=0.
Do đó phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm với mọi mm.
Đặt f(x) = (1-m2)x5 - 3x -1 = 0
Ta thấy f(x) liên tục trên R => f(x) liên tục trên [-1;0]
Ta có f(-1) = m2 + 1
f(0) = -1
=> f(-1).f(0)<0 => tồn tại x0 ϵ (-1;2) : f(x0)=0
Vậy phương rình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
Đặt f(x)= (1-\(m2\))\(x5\) -3x -1 =0
Ta thấy hàm số này liên tục trên R
Xét f(-1) = \(m2\) + 1 ; f(0) = -1
=> f(-1).f(0) = -(\(^{ }m2\)+1) < 0 với mọi m
Vậy, phương trình luôn có nghiệm với mọi m
gọi f(x)=(1-m^2)x^5-3x-1 liên tục trên R
⇒f(x) liên tục trên khoảng (-1;0)
f(0)=-1
f(-1)=m^2+1
⇒f(0).f(1)=-(m^2+1)<0⇒pt luôn có nghiệm với mọi m
Đặt f(x) = (1-m^2)x^5 - 3x - 1f(x)=(1−m2)x5−3x−1 và f(x)f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \mathbb{R}R nên f(x)f(x) liên tục trên [-1;0][−1;0].
Ta có f(-1)=m2+1 hoặc f(0)=-1 ⇒ f(-1).f(0)<0 nên tồn tại x0 ϵ (-1;2) để f(x0) =0
Do đó phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm với mọi mm.
Gọi h(x)= (1-m^2)x^5-3x-1 với mọi m thì h(x) đều làm hàm đa thức nên luôn có nghiệm.
Gọi f(x)= (1-m2)x5 - 3x - 1 = 0 liên tục trên R
⇒ f(x) liên tục trên [ -1; 0]
Ta có f(-1)= m2 + 1; f(0) = -1 ⇒ f( -1). f(0) < 0 nên tồn tại x0ϵ [-1:0] để f(x)=0
Do đó phương trình có ít nhất 1 nghiệm với mọi m
Đặt f(x) = (1-m^2)x^5 - 3x - 1f(x)=(1−m2)x5−3x−1 và f(x)f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \mathbb{R}R nên f(x)f(x) liên tục trên [-1;0][−1;0].
Ta có \left\{ \begin{aligned} & f(-1)=m^2+1\\ & f(0)=-1 \end{aligned} \right. \Rightarrow f(-1).f(0) < 0{f(−1)=m2+1f(0)=−1⇒f(−1).f(0)<0 nên tồn tại x_0 \in (-1;2)x0∈(−1;2) để f(x_0)=0f(x0)=0.
Do đó phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm với mọi mm.
Đặt f(x) = (1-m^2)x^5 - 3x - 1f(x)=(1−m2)x5−3x−1 và f(x)f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \mathbb{R}R nên f(x)f(x) liên tục trên [-1;0][−1;0].
Ta có \left\{ \begin{aligned} & f(-1)=m^2+1\\ & f(0)=-1 \end{aligned} \right. \Rightarrow f(-1).f(0) < 0{f(−1)=m2+1f(0)=−1⇒f(−1).f(0)<0 nên tồn tại x_0 \in (-1;2)x0∈(−1;2) để f(x_0)=0f(x0)=0.
Do đó phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm với mọi mm.
Đặt f(x)= (1-m2)x5-3x-1 và f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \(ℝ\) nên f(x) liên tục trên \([-1;0]\)
ta có\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)=m^{2^{ }}+1\\f\left(0\right)=-1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\) nên tồn tại xo\(\in(-1;2):f\left(x_o\right)=0\)
do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
Đặt f(x) = (1-m^2)x^5 - 3x - 1f(x)=(1−m2)x5−3x−1 và f(x)f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \mathbb{R}R nên f(x)f(x) liên tục trên [-1;0][−1;0].
Ta có \left\{ \begin{aligned} & f(-1)=m^2+1\\ & f(0)=-1 \end{aligned} \right. \Rightarrow f(-1).f(0) < 0{f(−1)=m2+1f(0)=−1⇒f(−1).f(0)<0 nên tồn tại x_0 \in (-1;2)x0∈(−1;2) để f(x_0)=0f(x0)=0.
Do đó phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm với mọi mm.
xét m=1 và m=-1 pt⇔ -3x-1=0 ⇔x=-1/3⇒pt luôn có nghiệm
xét m#1 và m#-1
đặt f(x)=(1-\(m^2\))\(x^5\)-3x-1
f(x) liên trên R
f(-1)=\(m^2+1>0\)
f(0)=-1
vì f(-1).f(0)<0 nên pt luôn có nghiệm với mọi m
Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^5-3x-1\)
Do \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(ℝ\) nên \(f\left(x\right)\) liên tục trên [-1;0]
Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)=m^2+1\\f\left(0\right)=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\) nên tồn tại \(x_0\in\left(-1;0\right)\) để \(f\left(x_0\right)=0\)
Do đó phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm với mọi mm
\mathbb{R}
Đặt f(x) = (1-m^2)x^5 - 3x - 1f(x)=(1−m2)x5−3x−1 và f(x)f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \mathbb{R}R nên f(x)f(x) liên tục trên [-1;0][−1;0].
Ta có \(\begin{cases} f(-1)=m^2+1\\ f(0)=-1 \end{cases} \)
⇒f(−1).f(0)<0 nên tồn tại x_0 \in (-1;2)x0∈(−1;2) để f(x_0)=0f(x0)=0.
Do đó phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm với mọi mm.
Đặt f(x)=(1−m2)x5−3x−1f(x)=(1−m2)x5−3x−1 và f(x)f(x)là hàm đa thức nên liên tục trên RR nên f(x)f(x) liên tục trên [−1;0][−1;0].
Ta có {f(−1)=m2+1f(0)=−1⇒f(−1).f(0)<0{f(−1)=m2+1f(0)=−1⇒f(−1).f(0)<0nên tồn tại x0∈(−1;2)x0∈(−1;2) để f(x0)=0f(x0)=0.
Do đó phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm với mọi mm.
Đặt f(x)=(1−m2)x5−3x−1f(x)=(1−m2)x5−3x−1 và f(x)f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên RR nên f(x)f(x) liên tục trên [−1;0][−1;0].
Ta có {f(−1)=m2+1f(0)=−1⇒f(−1).f(0)<0{f(−1)=m2+1f(0)=−1⇒f(−1).f(0)<0nên tồn tại x0∈(−1;2)x0∈(−1;2) để f(x0)=0f(x0)=0.
Do đó phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm với mọi mm.
Đặt
f
(
x
)
=
(
1
−
m
2
)
x
5
−
3
x
−
1
f
(
x
)
=
(
1
−
m
2
)
x
5
−
3
x
−
1
và
f
(
x
)
f
(
x
)
là hàm đa thức nên liên tục trên
R
R
nên
f
(
x
)
f
(
x
)
liên tục trên
[
−
1
;
0
]
[
−
1
;
0
]
.
Ta có
{
f
(
−
1
)
=
m
2
+
1
f
(
0
)
=
−
1
⇒
f
(
−
1
)
.
f
(
0
)
<
0
{
f(−1)=
m
2
+1 f(0)=−1
⇒
f
(
−
1
)
.
f
(
0
)
<
0
nên tồn tại
x
0
∈
(
−
1
;
2
)
x
0
∈
(
−
1
;
2
)
để
f
(
x
0
)
=
0
f
(
x
0
)
=
0
.
Do đó phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm với mọi
m
m
.
Đặt f(x)=(1−m2)x5−3x−1f(x)=(1−m2)x5−3x−1 và f(x)f(x)là hàm đa thức nên liên tục trên RR nên f(x)f(x)liên tục trên [−1;0][−1;0].
Ta có {f(−1)=m2+1f(0)=−1⇒f(−1).f(0)<0{f(−1)=m2+1f(0)=−1⇒f(−1).f(0)<0 nên tồn tại x0∈(−1;2)x0∈(−1;2) để f(x0)=0f(x0)=0.
Do đó phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm với mọi mm.