Gọi ƯCLN (d N*)

b d ; a+b d

b d ; ad

Vì \(\dfrac{a}{b}\)tối giản nên d= 1

Vậy nếu \(\dfrac{a}{b}\) tối giản thì tối giản

3a+5b+2/5a+8b+3 là phân số tối giản

Olm chào em. Đây là toán nâng cao chuyên đề phân số. Cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp phản chứng như sau:

Giải:

Giả sử \(\frac{a+b}{b}\) là phân số chưa tối giản thì:

Gọi ƯCLN(a + b; b) = d; d ≥ 2 khi đó:

(a + b) ⋮ d và b ⋮ d (1)

Suy ra: [a + b - b] ⋮ d

[a + (b - b)] ⋮ d

[a+ 0] ⋮ d

a ⋮ d (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có: (a; b) = d (d ≥ 2)

Vậy a/b không phải là phân số tối giản (trái với đề bài)

Nên điều giả sử là sai hay phân số a/b không phải là phân số tối giản.

Gọi d là ƯCLN (a,a+b) và d thuộc N*

=> a+b chia hết cho d ; b chia hết cho d

=> a chia hết cho d ; b chia hết cho d 

Mà phân số a/b tối giản =>d = 1

=> ƯCLN(a,a+b)=1

=> Phân số a/a+b tối giản 

Ta có

\(\dfrac{a+b}{b}=1+\dfrac{a}{b}=1\dfrac{a}{b}\)

Vì \(\dfrac{a}{b}\)là phân số tối giản nên \(1\dfrac{a}{b}\)là phân số tối giản

Vậy\(\dfrac{a+b}{b}\)là phân số tối giản

Ta có: \(5a+3b⋮2018\Rightarrow65a+39b⋮2018\)

\(13a+8b⋮2018\Rightarrow65a+40b⋮2018\)

Từ 2 điều trên suy ra b chia hết cho 2018

=> 3b chia hết cho 2018 => 5a chia hết cho 2018

Mà ƯCLN(5,2018)=1

=> a chia hết cho 2018

rễ lắm

làm sao làm sao, gấp lắm, sắp nộp rùi

Bài 8:

Gọi ƯCLN(5n + 6; 8n + 7) = d

Khi đó: (5n + 6) ⋮ d và (8n + 7) ⋮ d

[40n + 48] ⋮ d và [40n + 35] ⋮ d

[40n +48 - 40n - 35] ⋮ d

[(40n - 40n) + (48 - 35)] ⋮ d

[0 + 13] ⋮ d

13 ⋮ d

d = 1; 13

phân số có thể rút gọn được cho 13.

Bài 9:

Gọi ƯCLN(18n + 3; 21n + 7) = d khi đó:

[18n + 3] ⋮ d và (21n + 7) ⋮ d

[126n + 21] ⋮ d và (126n + 42) ⋮ d

[126n + 42 - 126n - 21] ⋮ d

[(126n - 126n) + (42 - 21)] ⋮ d

21 ⋮ d

d ∈ {1; 3; 7; 21}

Nếu d = 3 thì (21n + 7) ⋮ 3 suy ra 7 ⋮ 3 (vô lí)

Nếu d = 21 thì (21n + 7) ⋮ 3 suy ra 7 ⋮ 21 (vô lí)

Vậy d = 7 khi đó: (18n + 3) ⋮ 7

[21n - 18n - 3] ⋮ 7

[3n - 3] ⋮ 7

[3(n -1)] ⋮ 7

(n - 1) ⋮ 7

n = 7k + 1

Vậy để phân số tối giản thì n ≠ 7k + 1