tuỳ ctv thôi

Dạng biểu thức bạn đưa ra là:

Và bạn cần xác định điều kiện để biểu thức này chia hết cho 38 với \(n \geq 2\).

Để giải quyết bài toán này, chúng ta có thể phân tích biểu thức và xem xét tính chất của phép chia với 38.

Bước 1: Phân tích chia hết cho 38

Ta biết rằng:

Vì vậy, biểu thức cần phải chia hết cho cả 2 và 19.

Bước 2: Xét chia hết cho 2

Xét biểu thức mô tả phép chia cho 2:

• \(5^{2 n - 1} \cdot 2^{n}\) luôn chia hết cho \(2^{n}\), mà \(n \geq 2\), do đó phần này luôn chia hết cho 2 khi \(n \geq 2\).
• \(3^{n + 1} \cdot 2^{2 n - 1}\) cũng chia hết cho \(2^{2 n - 1}\), mà \(2 n - 1 \geq 3\) khi \(n \geq 2\), do đó phần này cũng chia hết cho 2.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng biểu thức sẽ chia hết cho 2 với mọi \(n \geq 2\).

Bước 3: Xét chia hết cho 19

Bây giờ ta cần xem xét chia hết cho 19, tức là kiểm tra điều kiện:

Ta sẽ xét các giá trị của \(n\) từ \(n = 2\) trở đi và kiểm tra xem biểu thức có chia hết cho 19 không.

Bước 4: Kiểm tra các giá trị \(n\)

Bây giờ, tôi sẽ thử tính một số giá trị của biểu thức cho \(n = 2 , 3 , 4\) để xem nó có chia hết cho 19 không.

Chờ một chút nhé, tôi sẽ tính toán thử.

It looks like to run Python code, you'd need to be logged in to ChatGPT. However, here's the code you can run on your own to check the divisibility for different values of \(n\):

def check_expression(n):
    # Calculate the expression for given n
    expr = (5**(2*n - 1) * 2**n + 3**(n + 1) * 2**(2*n - 1)) % 38
    return expr == 0

# Check for different values of n >= 2
results = {n: check_expression(n) for n in range(2, 10)}
print(results)

You can run it in any Python environment (like Jupyter, or an online compiler) to check for which values of \(n\), the expression is divisible by 38. Let me know if you need more help with this! 

Ta có:\(n^4+3n^3-n^2-3n=n^3.\left(n+3\right)-n.\left(n+3\right)=\left(n+3\right).\left(n^3-n\right)=\left(n+3\right).n.\left(n^2-1\right)=n.\left(n-1\right).\left(n+1\right).\left(n+3\right)⋮6\)b)Ta có:\(\left(2n-1\right)^3-2n+1=\left(2n-1\right).\left(\left(2n-1\right)^2-1\right)=\left(2n-1\right).\left(2n-1-1\right).\left(2n-1+1\right)=2n.\left(2n-1\right).\left(2n-2\right)⋮24\)

Ta có:

\(2n^3+3n^2+n=n\left(2n^2+3n+1\right)=n\left(2n^2+2n+n+1\right)=n\left[2n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\right]\)

\(=n\left(n+1\right)\left(2n-2+3\right)=n\left(n+1\right)\left(2n-2\right)+3n\left(n+1\right)=2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+3n\left(n+1\right)\)

Ta thấy:

\(n-1;n;n+1\) là 3 số nguyên liên tiếp (\(n\in Z\)) => tích của chúng chia hết cho 2 và 3. \(\Rightarrow2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2.3=6\)

Và \(3n\left(n+1\right)⋮6\Rightarrow2n^3+3n^2+n⋮6\)

Ta có \(n^3+3n^2+2n=n(n^2+3n+2)=n(n+1)(n+2)\)  là tích ba số nguyên liên tiếp. Trong hai số liên tiếp luôn có một chia hết cho 2, trong ba số liên tiếp luôn có một chia hết cho 3. Vậy tích chia hết cho 6.

Ta có \((n^2+n-1)^2-1=(n^2+n-2)(n^2+n)=(n-1)(n+2)n(n+1)=(n-1)n(n+1)(n+2)\)  là tích bốn số nguyên liên tiếp.

Trong ba số liên tiếp luôn có một chia hết cho 3. Vậy tích chia hết cho 3. Mặt khác trong bốn số liên tiếp phải có hai số chẵn liên tiếp. Hai số chẵn liên tiếp phải có một số chia hết cho 4. Vậy tích sẽ chia hết cho 8. Từ hai điều đó suy ra tích chia hết 3x8=24.

\(n^3-3n^2+2n\)

\(=n^3-n^2-2n^2+2n\)

\(=n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)\)

\(=\left(n^2-2n\right)\left(n-1\right)\)

\(=n\left(n-2\right)\left(n-1\right)⋮2.3=6\)

ta có : \(n^3-3n^2+2n=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\)

mà \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\) là tích của 3 số nguyên liện tiếp

\(\Rightarrow n^3-3n^2+2n⋮6\) với mọi \(n\in Z\) \(\Rightarrow\) đpcm

1) Đặt A = n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1) 
Nếu n chia hết cho 5 ta dễ thấy đpcm 
Nếu n : 5 dư 1 => n = 5k + 1 
=> A = n.(5k + 1 - 1)(n + 1)(n^2 + 1) = n.5k.(n + 1)(n^2 + 1) chia hết cho 5 
Nếu n : 5 dư 2 => n = 5k + 2 
=> A = n(n - 1)(n + 1)[(5k + 2)^2 + 1] = n(n - 1)(n + 1)(25k^2 + 20k + 5) 
= 5n(n - 1)(n + 1)(5k^2 + 4k + 1) chia hết cho 5 
Nếu n : 5 dư 3 => n = 5k + 3 
=>A = n(n - 1)(n + 1)(25k^2 + 30k + 10) = 5n(n - 1)(n + 1)(5k^2 + 6k + 2) chia hết cho 5 
Nếu n : 5 dư 4 => n = 5k + 4 
=> A = n(n - 1)(5k + 5)(n^2 + 1) = 5n(n - 1)(k + 1)(n^2 + 1) chia hết cho 5 
Vậy trong tất cả trường hợp n^5 - n luôn chia hết cho 6 

2) Đặt B = n^3 - 13n = n^3 - n -12n = n(n - 1)(n + 1) - 12n 
Ta có : Trong 3 số nguyên liên tiếp tồn tại ít nhất 1 số chẵn và tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3 nên tích của 3 số đó chia hết cho 2 và chia hết cho 3 mà (2;3) = 1 nên tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 
=> n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 6 mà 12n chia hết cho 6 
=> n^3 - n chia hết cho 6 

3) n^3 + 23n = n^3 - n + 24n = n(n - 1)(n + 1) + 24n 
Tương tự câu 2 : n(n - 1)(n + 1) và 24n chia hết cho 6 
=> n^3 + 23n chia hết cho 6 

4)Đặt A = n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1)[2(n - 1) + 3] 
= 2n(n + 1)(n - 1) + 3n(n + 1) 
n(n + 1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 
2n(n + 1)(n - 1) chia hết cho 2 
=> A chia hết cho 2 
n(n + 1)(n - 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 
3n(n + 1) chia hết cho 3 
=> A chia hết cho 3 
Mà (2 ; 3) = 1 (nguyên tố cùng nhau) 
=> A chia hết cho 6 

5) Đặt A = 3n^4 - 14n^3 + 21n^2 - 10n 
Chứng minh bằng quy nạp 
Với n =1 => A = 0 chia hết cho 24 
Giả sử A chia hết 24 đúng với n = k 
Nghĩa là :A(k) = 3k^4 - 14k^3 + 21k^2 - 10k chia hết cho 24 
Ta phải chứng minh : 
A chia hết cho 24 đúng với n = k + 1 
Nghĩa là : 
A(k + 1) = 3(k + 1)^4 - 14(k + 1)^3 + 21(k + 1)^2 - 10(k + 1) 
Khai triển ta được : 
A = (3k^4 - 14k^3 + 21k^2 - 10k) + (12k^3 - 24k^2 + 12k) 
Ta phải chứng minh : 12k^3 - 24k^2 + 12k chia hết 24 
12k^3 - 24k^2 + 12k = 12k(k^2 - 2k + 1) 
= 12k(k - 1)^2 = 12k(k - 1)(k - 1) 
12 chia hết 12 
k(k - 1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 
=> 12k^3 - 24k^2 - 2k + 1 chia hết cho 24 
Mà 3k^4 - 14k^3 + 21k^2 - 10k chia hết cho 24 (giả thiết quy nạp) 
=> A(k + 1) chia hết 24 
Theo nguyên lý quy nạp => A chia hết cho 24 (đpcm) 

6) n = 2k + 1 với k thuộc Z 
A = n^2 + 4n + 3 = (2k + 1)^2 + 4(2k + 1) + 3 
= 4k^2 + 12k + 8 
= 4(k^2 + 3k + 2) 
= 4(k + 2k + k + 2) 
= 4(k + 1)(k + 2) 
4 chia hết cho 4 
(k +1)(k + 2) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 
=> n^2 + 4n + 3 chia hết cho 4.2 = 8 với n lẻ 

7) n = 2k + 1 
Đặt A = n^3 + 3n^2 - n - 3 
= (2k + 1)^3 + 3(2k + 1)^2 - (2k + 1) - 3 
= 8k^3 + 24k^2 + 16k 
= 8k(k^2 + 3k + 2) 
= 8k(k^2 + k + 2k + 2) 
= 8k(k + 1)(k + 2) 
8 chia hết cho 8 
k(k + 1)(k + 2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 => chia hết cho 6 
=> A chia hết cho 8.6 = 48 với n lẻ

a)

n³+3n²+2n

= n³+ n²+2n²+2n

= n²(n+1) +2n(n+1)

= ( n+1)n(n+2)

Có n(n+1)(n+2) chia hết cho 6 vì là tích của 3 số nguyên liên tiếp

b)

(n²+n-1)²-1

= (n²+n-1-1)(n²+n-1+1)

= (n²+n-2)(n²+n)

= [ (n²-n) + (2n-2)] n (n+1)

= [ n(n-1) + 2(n-1)] n (n+1)

= n(n-1)(n+1)(n+2)

Có n(n-1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6

mà n(n-1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và(n+1)(n+2) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2

nên n(n-1)(n+1)(n+2) chia hết cho 4

\(\Rightarrow\) n(n-1)(n+1)(n+2) chia hết cho 24

a) n³+3n²+2n

=n(n²+3n+2)

=n(n²+2n+n+2)

=n[(n²+2n)+(n+2)]

=n[n(n+2)+(n+2)]

=n(n+2)(n+1) ⋮6 (3 số nguyên liên tiến nhân với nhau ⋮6) (đpcm)

bạn nhân hết ra rồi phân tích nhân tử sẽ đc tích của 5 số liên tiếp, trong 5 số liên tiếp chắc chắn sẽ có mọt số chia hết cho 5

⇒ cả cụm tích đó chia hết cho 5