- Giả sử AD vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác của tam giác ABC.

Ta cần chứng minh ∆ABC cân tại A.

Kéo dài AD một đoạn DA1 sao cho DA1 = AD.

- ∆ADB và ∆A1DC có

AD = DA1 (cách vẽ)

BD = CD (do D là trung điểm BC)

⇒ ∆ADB = ∆A1DC (c.g.c)

⇒  (hai góc tương ứng), AB = A1C (hai cạnh tương ứng) (1)

⇒ ∆ACA1 cân tại C ⇒ AC = A1C (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AB = AC.

Vậy ∆ABC cân tại A

Tức là: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.

- Giả sử AD vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác của tam giác ABC.

Ta cần chứng minh ∆ABC cân tại A.

Kéo dài AD một đoạn DA1 sao cho DA1 = AD.

- ∆ADB và ∆A1DC có

AD = DA1 (cách vẽ)

BD = CD (do D là trung điểm BC)

Giải bài 42 trang 73 SGK Toán 7 Tập 2 | Giải toán lớp 7

⇒ ∆ADB = ∆A1DC (c.g.c)

⇒ Giải bài 42 trang 73 SGK Toán 7 Tập 2 | Giải toán lớp 7 (hai góc tương ứng), AB = A1C (hai cạnh tương ứng) (1)

Giải bài 42 trang 73 SGK Toán 7 Tập 2 | Giải toán lớp 7

⇒ ∆ACA1 cân tại C ⇒ AC = A1C (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AB = AC.

Vậy ∆ABC cân tại A

Tức là: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.

Giả sử  ∆ABC có AD là phân giác  và DB = DC, ta chứng minh  ∆ABC  cân tại A

Kéo dài AD một đoạn DA₁ = AD

Ta có:   ∆ADC =  ∆A₁DC (c.g.c)

Nên 

mà  (gt)

=> 

=>   ∆ACA₁ cân tại C

Ta lại có: AB = A₁C ( ∆ADB = ∆A₁DC)

              AC = A₁C ( ∆ACA₁ cân tại C)

=> AB = AC

Vậy  ∆ABC cân tại A

_{​Xét tam giác ABC có AI là đường trung trực vừa là đường phân giác}

_{vì AI là đường trung trực nên AI vuông góc với BC và I là trung điểm cuả BC}

xét 2 tam giác vuông ABI và tam giác vuông ACI có;

IA chung

góc BAI=gócCAI (do AI là phân giác)

do đó tam giác BAI =tam giác CAI

suy ra AB=AC (2 cạnh tương ứng)

suy ra tam giác ABC cân tại A (định nghĩa tam giác cân)

Hướng dẫn:

Xét tam giác ABC với AH là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực nên

AH ⊥ BC và HB = HC

Xét hai tam giác vuông HAB và HAC có:

HB = HC

= 90⁰

AH: cạnh chung

Nên ∆HAB = ∆HAC => AB = AC

Vậy ∆ABC cân tại A

Xét tam giác ABC với AH là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực nên

AH ⊥ BC và HB = HC

Xét hai tam giác vuông HAB và HAC có:

HB = HC

$\widehat{H_1}=\widehat{H_2}$ = 90⁰

AH: cạnh chung

Nên ∆HAB = ∆HAC => AB = AC

Vậy ∆ABC cân tại A

Chỉ cần vẽ hình là thấy ngay định lí đó mà

ướng dẫn:

Gọi M, N, E là giao điểm của AG, BG, CG với BC, CA, AB.

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên

GA = AM; GB = BN; GC = CE (1)

Vì ∆ABC đều nên ba đường trung tuyến ứng với ba cạnh BC, CA, AB bằng nhau

=> AM = BN = CE (2)

Từ (1), (2) => GA = GB = GC

Gọi M, N, E là giao điểm của AG, BG, CG với BC, CA, AB.

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên

GA = $\frac{2}{3}$AM; GB = $\frac{2}{3}$BN; GC = $\frac{2}{3}$CE (1)

Vì ∆ABC đều nên ba đường trung tuyến ứng với ba cạnh BC, CA, AB bằng nhau

=> AM = BN = CE (2)

Từ (1), (2) => GA = GB = GC

Hình vẽ : 

A B C

A B C D

Chứng minh :

Giả sử \(\triangle ABC\) có AD là đường trung tuyến ứng với BC và \(DA=\frac{1}{2}BC\).

\(\Rightarrow AD=BD=CD\)

\(+AD=BC\Rightarrow\triangle ADC\text{ cân tại D}\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{C}\)

\(+AD=BD\Rightarrow\triangle ABD\text{ cân tại D}\)

\(\Rightarrow\widehat{A_2}=\widehat{B}\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\widehat{B}+\widehat{C}\)

\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}+\widehat{C}\)

Trong \(\triangle ABC\) có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}+\widehat{C}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

hay \(\triangle ABC\) vuông tại A (đpcm)