Để mai mk lm giờ pùn ngủ quá ^ ^

A B C H I K M

a) Xét hai tam giác ABI và AKI có:

AB = AK (gt)

\(\widehat{BAI}=\widehat{KAI}\left(gt\right)\)

AI: cạnh chung

Vậy \(\Delta ABI=\Delta AKI\left(c-g-c\right)\)

b) Vì AB = AK (gt)

\(\Rightarrow\Delta ABK\) cân tại A

\(\Rightarrow\) AI là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của BK

Vậy AI \(\perp\) BK

c) Ta có: \(\widehat{ABI}+\widehat{IBH}=180^o\) (kề bù)

\(\widehat{AKI}+\widehat{IKC}=180^o\) (kề bù)

Mà \(\widehat{ABI}=\widehat{AKI}\left(\Delta ABI=\Delta AKI\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{IBH}=\widehat{IKC}\)

Xét hai tam giác IBH và IKC có:

\(\widehat{IBH}=\widehat{IKC}\left(cmt\right)\)

IB = IC (\(\Delta ABI=\Delta AKI\))

\(\widehat{BIH}=\widehat{KIC}\) (đối đỉnh)

Vậy \(\Delta IBH=\Delta IKC\left(g-c-g\right)\)

Suy ra: IH = IC (hai cạnh tương ứng)

Do đó: \(\Delta IHC\) cân tại I

d) Ta có: AH = AB + BH

AC = AK + KC

Mà AB = AK (gt)

BH = KC (\(\Delta IBH=\Delta IKC\))

\(\Rightarrow\) AH = AC

\(\Rightarrow\) \(\Delta AHC\) cân tại A

e) \(\Delta AHC\) cân tại A có AI là đường phân giác đồng thời là đường cao

hay AI \(\perp\) HC

Mà AI \(\perp\) BK (cmt)

Do đó: BK // HC

i) Xét hai tam giác AHM và ACM có:

AH = AC (cmt)

MH = MC (gt)

AM: cạnh chung

Vậy \(\Delta AHM=\Delta ACM\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{HAM}=\widehat{CAM}\) (hai góc tương ứng)

\(\Rightarrow\) AM là tia phân giác của \(\widehat{HAC}\)

Mà AI là tia phân giác của \(\widehat{BAK}\)

Vậy AI trùng AM hay ba điểm A, I, M thẳng hàng (đpcm).

Vì \(b\ne d;b+d\ne0\) nên áp dụng tính chất cảu dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}\)

Vậy \(\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}\) (đpcm)

Chúc bạn học tốt!!!

Ta có:Nếu

\(\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}\)

thì \((a+c)(b-d)=(a-c)(b+d)\)

\(a(b-d)+c(b-d)=a(b+d)-c(b+d)\)

\(ab-ad+bc-cd=ab+ad-bc+cd\)

\(=\)\(ab-ab\)\(-ad+ad\)\(+bc-bc\)\(-cd+cd\)

\(=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(b-d\right)\)\(=\left(a-c\right)\left(b+d\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+c}{b+d}\)\(=\dfrac{a-c}{b-d}\)

Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\) \(\Rightarrow\) \(\begin{cases} a = bk \\ c = dk \end{cases}\)

Ta có: \(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{b^2k^2+d^2k^2}{b^2+d^2}=\dfrac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\left(1\right)\)

\(\dfrac{a.c}{b.d}=\dfrac{bk.dk}{b.d}=\dfrac{k^2.b.d}{b.d}=k^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\dfrac{a.c}{b.d}=\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\) \(\rightarrow đpcm\).

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow ad=bc\)

Nếu:

\(\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{c+d}{c}\Leftrightarrow c\left(a+b\right)=a\left(c+d\right)\)

\(ac+bc=ac+ad\)

\(bc=ad\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{c+d}{c}\rightarrowđpcm\)

Đặt \(\dfrac{a}{b}\)=\(\dfrac{c}{d}\)=k

=> a=k.b ; c=k.d

Ta có :

\(\dfrac{a+b}{a}\)=\(\dfrac{b.k+b}{b}\)=\(\dfrac{b.\left(k+1\right)}{b}\)=k+1 ( 1 )

\(\dfrac{c+d}{c}\)=\(\dfrac{d.k+d}{d}\)=\(\dfrac{d.\left(k+1\right)}{d}\)=k+1 ( 2 )

Từ (1) và (2) thì : \(\dfrac{a+b}{a}\)=\(\dfrac{c+d}{c}\)

Đặt\(a+c=2b\left(1\right);2bd=c\left(b+d\right)\left(2\right)\\ \)

Thay (1) vào (2):\(\left(a+c\right)d=c\left(b+d\right)\)

Khai triển hết ra r rút gọn là ok.

Với mọi x thuộc R Có (x^2-9)^2 \(\ge\) 0

[y-4] \(\ge\) 0

Suy ra (x^2-9)^2+[y-4] - 1 \(\ge\) -1

Xét A=-1 khi và chỉ khi (x^2-9)^2 và [y-4] đều bằng 0

Tự tính ra

Xin lỗi nhưng vì không biết nên mình phải dùng [ ] thay cho GTTĐ nhé

Xin lỗi nhiều tại mình o tìm được kí hiệu đó

a.Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\) => \(\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}=\dfrac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\) (1)

\(\dfrac{\left(a+c\right)^2}{\left(b+d\right)^2}=\dfrac{\left(bk+dk\right)^2}{\left(b+d\right)^2}=\dfrac{k^2\left(b+d\right)^2}{\left(b+d\right)^2}=k^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{\left(a+c\right)^2}{\left(b+d\right)^2}\)

b.M = \(\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^2}\right)...\left(1-\dfrac{1}{50^2}\right)\)

= \(\dfrac{3}{4}.\dfrac{8}{9}.\dfrac{15}{16}...\dfrac{2499}{2500}\)

= \(\dfrac{1.3.2.4.3.5...49.51}{2^2.3^2.4^2...50^2}\)

\(\dfrac{51}{2.50}=\dfrac{51}{100}\)

Lời giải:

a)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)

\(\Rightarrow \left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{b}{d}\right)^2=\frac{(a+c)^2}{(b+d)^2}(1)\)

Mặt khác, \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}(2)\) (áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \frac{(a+c)^2}{(b+d)^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

b) Vì \(1-\frac{1}{2^2};1-\frac{1}{3^2};...;1-\frac{1}{50^2}<1\) nên:

\(\left\{\begin{matrix} \left \{ 1-\frac{1}{2^2} \right \}=1-\frac{1}{2^2}\\ \left \{ 1-\frac{1}{3^2} \right \}=1-\frac{1}{3^2}\\ ....\\ \left \{ 1-\frac{1}{50^2} \right \}=1-\frac{1}{50^2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)....\left(1-\frac{1}{50^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)....(50^2-1)}{(2.3....50)^2}\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{[(2-1)(3-1)...(50-1)][(2+1)(3+1)...(50+1)]}{(2.3.4...50)^2}\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{(2.3...49)(3.4.5...51)}{(2.3.4...50)^2}=\frac{(2.3.4...49)^2.50.51}{2.(2.3....49)^2.50^2}=\frac{50.51}{2.50^2}=\frac{51}{100}\)

a) Có : AB=AC(tg ABC cân tại A)

BD=CE(gt)

=> AB+BD=AC+CE

=> AD=AE

=> Tg ADE cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{D}=\widehat{E}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\)

Lại có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\)(tg ABC cân tại A)

\(\Rightarrow\widehat{D}=\widehat{ABC}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\)

Mà chúng là 2 góc đồng vị

=> BC//DE

b) Có : \(\widehat{CBD}=180^o-\widehat{ABC}\)

\(\widehat{BCE}=180^o-\widehat{ACB}\)

Mà : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(tg ABC cân tại A)

\(\Rightarrow\widehat{CBD}=\widehat{BCE}\)

- Xét tg BCD và CBE có :

BD=CE(gt)

BC-cạnh chung

\(\widehat{CBD}=\widehat{BCE}\left(cmt\right)\)

=> Tg BCD=CBE(c.g.c)

=> BE=CD(đccm)

c) Có : \(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)(tg BCD=CBE)

=> Tg KBC cân tại K

- Có : \(\widehat{KDE}=\widehat{ADE}-\widehat{ADC}\)

\(\widehat{KED}=\widehat{AED}-\widehat{AEB}\)

Mà : \(\widehat{AED}=\widehat{ADE}\)(tg ADE cân tại A)

\(\widehat{ADC}=\widehat{AEB}\)(tg BCD=CBE)

\(\Rightarrow\widehat{KED}=\widehat{KDE}\)

=> Tg KDE cân tại K

d) Xét tam giác ABK và ACK có :

AB=AC(tg ABC cân tại A)

AK-cạnh chung

KB=KC(tg KBC cân tại K)

=> Tg ABK=ACK(c.c.c)

=> \(\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\)

=> AK là tia pg góc BAC

e) Không thấy rõ đề : DM và EN như thế nào so với BC?

Câu e là

Từ D, E kẻ DM, EN vuông góc BC. CM: DM = EN